Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo: x(t)=e^-4 t u(t)+e^-5 t(sen 5 t) u(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função , identificar a região de convergência e desenhar o diagrama de polos e zeros. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas da Transformada de Laplace e entender como aplicar cada parte delas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função x(t) = e^-4 t u(t) + e^-5 t sin(5 t) u(t) em duas partes para facilitar a resolução:
Aqui, é a função degrau de Heaviside, que garante que as funções só existem para .

Passo 3

Vamos começar calculando a Transformada de Laplace da primeira parte: Le^a t u(t) = 1s - a . A fórmula da Transformada de Laplace para Le^-4 t u(t) = 1s + 4 é:
No nosso caso, , então:
Essa é a primeira parte da nossa Transformada.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: Le^a t sin(b t) u(t) = b(s - a)^2 + b^2 . Aqui, usamos a fórmula da Transformada de Laplace para Le^-5 t sin(5 t) u(t) = 5(s + 5)^2 + 25 :
Substituindo e :
Essa é a segunda parte da Transformada.

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
Lx(t) = 1s + 4 + 5(s + 5)^2 + 25
Essa é a Transformada de Laplace completa da função .

Passo 6

Vamos determinar a região de convergência (RC). Cada parte da Transformada tem sua própria RC:
  1. Para , a RC é .
  2. Para , a RC é .
A região de convergência geral é a interseção dessas regiões, ou seja, .

Passo 7

Agora, vamos ao diagrama de polos e zeros.
  • Polos são os valores de s + 5 = pm j5 Rightarrow s = -5 pm j5 que fazem o denominador igual a zero.
    • Para : Pólo em .
    • Para : Pólos nos valores de que resolvem :
  • Zeros são os valores de que fazem o numerador igual a zero. Como os numeradores são constantes não nulas, não há zeros.
Então, temos três polos:
  • Um em
  • Dois em e
E nenhum zero.

Resposta

A Transformada de Laplace de Lx(t) = 1s + 4 + 5(s + 5)^2 + 25 é:
Re(s) > -4
A região de convergência é:
O diagrama de polos e zeros possui polos em , e , sem zeros.

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