Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
, identificar a região de convergência e desenhar o diagrama de polos e zeros. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas da Transformada de Laplace e entender como aplicar cada parte delas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em duas partes para facilitar a resolução:
Aqui,
é a função degrau de Heaviside, que garante que as funções só existem para
.
Passo 3
Vamos começar calculando a Transformada de Laplace da primeira parte:
. A fórmula da Transformada de Laplace para
é:
No nosso caso,
, então:
Essa é a primeira parte da nossa Transformada.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
. Aqui, usamos a fórmula da Transformada de Laplace para
:
Substituindo
e
:
Essa é a segunda parte da Transformada.
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
Essa é a Transformada de Laplace completa da função
.
Passo 6
Vamos determinar a região de convergência (RC). Cada parte da Transformada tem sua própria RC:
- Para
, a RC é . - Para
, a RC é .
A região de convergência geral é a interseção dessas regiões, ou seja,
.
Passo 7
Agora, vamos ao diagrama de polos e zeros.
-
Polos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero. - Para
: Pólo em . - Para
: Pólos nos valores de que resolvem :
- Para
-
Zeros são os valores de
que fazem o numerador igual a zero. Como os numeradores são constantes não nulas, não há zeros.
Então, temos três polos:
- Um em
- Dois em
e
E nenhum zero.
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
A região de convergência é:
O diagrama de polos e zeros possui polos em
,
e
, sem zeros.