A distância até a estrela mais distante da nossa galáxia é da ordem de 10^5 anos luz. Explique por que é possível, em princípio, para um ser humano viajar para tal estrela durante seu tempo de vida (digamos 80 anos) e faça uma estimativa da velocidade necessária para tal.

Passo 1

O enunciado diz que a estrela mais distante da nossa galáxia está a cerca de 10^5 anos-luz e pergunta por que, em princípio, um ser humano poderia chegar lá em 80 anos de sua própria vida. O conteúdo necessário é a Relatividade Especial de Einstein, em particular o efeito de dilatação do tempo, que permite que o tempo próprio do viajante seja muito menor que o tempo medido por um observador em repouso na Terra.

Passo 2

No referencial da Terra, a viagem leva um tempo
t = Lv,
onde L=10^5 anos-luz e v é a velocidade da nave. Para quem está dentro da nave, o tempo próprio tau sofr e dilatação temporal dada por
tau = tgamma,
com
gamma = 1raiz1-beta^2 e beta=vc

Passo 3

Substituindo t em tau temos
tau = Lv,gamma = Lbeta c,gamma
Queremos tau=80 anos, então
beta,gamma = Lc,tau = 10^5 anos80 anos =1250

Passo 4

Como beta<=1, o produto betagammaapproxgammaapprox1250. Calculamos
gamma =1250 Longrightarrow beta = raiz1-1gamma^2 approx 1 - 12,gamma^2 approx 1 - 12cdot(1250)^2 approx 1 - 3,2times10^-7

Passo 5

Logo a velocidade necessária é
v = beta,c approxl(1 - 3,2times10^-7r),c,
ou seja, extremamente próxima da velocidade da luz.

Resposta

A velocidade exigida é da ordem de
vapproxl(1 - 3times10^-7r),c,
pois a dilatação do tempo assegura que o viajante envelheça apenas 80 anos apesar de cruzar 10^5 anos-luz.

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