Desenvolvendo f(x)=\operatorname{cosh} a x em série de Fourier no intervalo -\pi<x<\pi, mostre que
\operatorname{cosh} a x=\frac{\operatorname{senh} a \pi}{a \pi}+\frac{2 a \operatorname{senh} a \pi}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}} \cos n x

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função
f(x)=\operatorname{cosh}(a x)
como série de Fourier no intervalo -\pi<x<\pi.
Como f é par, vamos obter apenas termos de cosseno, isto é, uma série da forma
\operatorname{cosh}(a x)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(nx),
onde
A_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\,dx, \quad A_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\cos(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular A_0. Como \operatorname{cosh}(ax) é par,
A_0 =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\,dx =\frac{2}{\pi}\left[\frac{\operatorname{sinh}(a x)}{a}\right]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a}.
Logo
\frac{A_0}{2} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a} =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}\,.

Passo 3

Calcular A_n para n\ge1. De novo, usando paridade,
A_n =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\cos(nx)\,dx.
Para avaliar este integral, note que por integração por partes duas vezes ou usando a forma exponencial, chega-se ao resultado conhecido
\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\cos(nx)\,dx =\frac{a\,\operatorname{sinh}(a\pi)\,\cos(n\pi)}{a^2+n^2} =\frac{a\,\operatorname{sinh}(a\pi)\,(-1)^n}{a^2+n^2}.
Portanto
A_n =\frac{2}{\pi}\;\frac{a\,\operatorname{sinh}(a\pi)\,(-1)^n}{a^2+n^2} =\frac{2a\,\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi}\;\frac{(-1)^n}{n^2+a^2}.

Passo 4

Substituindo A_0/2 e A_n na série de Fourier, obtemos
\operatorname{cosh}(a x) =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2a\,\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi}\;\frac{(-1)^n}{n^2+a^2}\,\cos(nx).
Fatorando \tfrac{2a\,\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi} no segundo termo, chega-se à forma desejada.

Resposta

\boxed{ \operatorname{cosh}(a x) =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi} +\frac{2a\,\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+a^2}\cos(nx) }.

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