Desenvolvendo
em série de Fourier no intervalo
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
como série de Fourier no intervalo
.
Como é par, vamos obter apenas termos de cosseno, isto é, uma série da forma
Como
onde
Passo 2
Calcular
. Como
é par,
Logo
Passo 3
Calcular
para
. De novo, usando paridade,
Para avaliar este integral, note que por integração por partes duas vezes ou usando a forma exponencial, chega-se ao resultado conhecido
Portanto
Passo 4
Substituindo
e
na série de Fourier, obtemos
Fatorando
no segundo termo, chega-se à forma desejada.