Seja M>0 e seja f(x) uma função periódica de período 2 M, tal que para -M<x<M,
f(x)=x^{2}-\frac{M^{2}}{3} .
a) Mostre que a expansão em série de Fourier para f(x) é dada por
f(x)=\frac{4 M^{2}}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \cos \frac{n \pi}{M} x .
b) Usando a identidade de Parseval para essa expansão mostre que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90}

Passo 1

O enunciado define f(x) como a extensão periódica de período 2M da função
f(x)=x^{2}-\frac{M^{2}}{3},
válida em -M<x<M, e pede:
  1. Encontrar a série de Fourier (conteúdo: coeficientes a_{n} de uma função par).
  2. Usar a identidade de Parseval para somar \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{4}.

Passo 2

Como f é par, só teremos termos em cosseno. O coeficiente médio é
a_{0}=\frac{1}{M}\int_{-M}^{M}f(x)\,dx =\frac{2}{M}\int_{0}^{M}\Bigl(x^{2}-\frac{M^{2}}{3}\Bigr)dx =\frac{2}{M}\Bigl[\frac{M^{3}}{3}-\frac{M^{3}}{3}\Bigr] =0.

Passo 3

Para n\ge1,
a_{n} =\frac{1}{M}\int_{-M}^{M}f(x)\cos\frac{n\pi x}{M}\,dx =\frac{2}{M}\int_{0}^{M}\Bigl(x^{2}-\frac{M^{2}}{3}\Bigr)\cos\frac{n\pi x}{M}\,dx.
Como \int_{0}^{M}\cos\frac{n\pi x}{M}dx=0, basta
I_{n}=\int_{0}^{M}x^{2}\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{M}x\bigr)\,dx.
Fazendo duas integrações por partes obtemos
I_{n} =\frac{2M^{3}}{n^{2}\pi^{2}}(-1)^{n},
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a_{n} =\frac{2}{M}I_{n} =\frac{4M^{2}}{\pi^{2}}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 4

Portanto a série de Fourier fica
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\frac{n\pi x}{M} =\frac{4M^{2}}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \cos\frac{n\pi x}{M},
como desejado.

Passo 5

Usando Parseval para período 2M:
\int_{-M}^{M}f(x)^{2}\,dx =M\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} =M\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{4M^{2}}{\pi^{2}n^{2}}\Bigr)^{2} =\frac{16M^{5}}{\pi^{4}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}.
Por outro lado,
\int_{-M}^{M}\Bigl(x^{2}-\tfrac{M^{2}}{3}\Bigr)^{2}dx =2\int_{0}^{M}\Bigl(x^{4}-\tfrac{2M^{2}}{3}x^{2}+\tfrac{M^{4}}{9}\Bigr)dx =\frac{8M^{5}}{45}.
Igualando as duas expressões e cancelando M^{5}
\frac{8}{45} =\frac{16}{\pi^{4}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} =\frac{\pi^{4}}{90}.

Resposta

a) \displaystyle f(x)=\frac{4M^{2}}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos\frac{n\pi x}{M}.
b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90}.

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