Seja M>0 e seja f(x) uma função periódica de período 2 M, tal que para -M<x<M,
f(x)=x^{3}-M^{2} x
a) Mostre que a expansão em série de Fourier para f(x) é dada por
f(x)=\frac{12 M^{3}}{\pi^{3}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{3}} \operatorname{sen} \frac{n \pi}{M} x
b) Usando a identidade de Parseval para essa expansão mostre que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{6}}=\frac{\pi^{6}}{945}
c) Faça o cálculo da série numericamente para n=1,2,3,5,10 e 20 , e compare com o valor exato. Qual é o erro percentual em cada caso?

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f periódica de período 2M, definida em -M<x<M por
f(x)=x^3 - M^2 x.
Pede-se:
a) montar a série de Fourier de f,
b) usar Parseval para mostrar que \sum_{n=1}^\infty 1/n^6=\pi^6/945,
c) calcular numericamente os somatórios parciais para N=1,2,3,5,10,20 e comparar com o valor exato.

Passo 2

Como f é função ímpar ( x^3 e x são ímpares), só há termos em seno na expansão, ou seja
f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\;\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{M}\Bigr).
O coeficiente b_n vem de
b_n=\frac{1}{M}\int_{-M}^{M}f(x)\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{M}\Bigr)\,dx.
Como f(x)\operatorname{sen}(\tfrac{n\pi x}{M}) é par, isto equivale a
b_n=\frac{2}{M}\int_{0}^{M}\bigl(x^3 - M^2 x\bigr)\, \operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{M}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calculando essa integral por partes (três vezes) obtém-se
\int_{0}^{M}\bigl(x^3 - M^2 x\bigr)\, \operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{M}\Bigr)\,dx =\frac{6\,M^4\,(-1)^n}{(n\pi)^3}.
Logo
b_n =\frac{2}{M}\;\frac{6\,M^4(-1)^n}{(n\pi)^3} =\frac{12\,M^3}{\pi^3}\,\frac{(-1)^n}{n^3}.
Assim a série de Fourier é
\boxed{ f(x) =\frac{12\,M^3}{\pi^3} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^3}\, \operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{M}\Bigr) }.

Passo 4

Usamos a identidade de Parseval (sem termo constante):
\frac{1}{M}\int_{-M}^{M}f(x)^2\,dx =\sum_{n=1}^\infty b_n^2.
Calculemos primeiro a integral
\int_{-M}^{M}(x^3 - M^2 x)^2\,dx =2\int_{0}^{M}\bigl(x^6 -2M^2x^4 + M^4x^2\bigr)\,dx =2M^7\Bigl(\tfrac17 - \tfrac25 + \tfrac13\Bigr) =\frac{16\,M^7}{105}.
Logo
\frac{1}{M}\int_{-M}^{M}f(x)^2\,dx =\frac{16\,M^6}{105}.
Por outro lado,
\sum_{n=1}^\infty b_n^2 =\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{12\,M^3}{\pi^3}\Bigr)^2\frac{1}{n^6} =\frac{144\,M^6}{\pi^6}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^6}.
Igualando os dois lados,
\frac{16\,M^6}{105} =\frac{144\,M^6}{\pi^6}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^6} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^6} =\frac{16}{105}\,\frac{\pi^6}{144} =\frac{\pi^6}{945}.

Passo 5

O valor exato é
\zeta(6)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^6} =\frac{\pi^6}{945}\approx1{,}017343061984448.
Os somatórios parciais
s_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^6}
e os erros percentuais relativos \!\bigl|s_N-\zeta(6)\bigr|/\zeta(6)\times100\% para N=1,2,3,5,10,20 são: N=1: \displaystyle s_1=1
erro \approx1{,}704\%. N=2: \displaystyle s_2=1+\tfrac1{2^6}=1{,}015625
erro \approx0{,}169\%. N=3: \displaystyle s_3\approx1{,}0169967421
erro \approx0{,}034\%. N=5: \displaystyle s_5\approx1{,}0173048827
erro \approx0{,}0038\%. N=10: \displaystyle s_{10}\approx1{,}0173415109
erro \approx0{,}00015\%. N=20: \displaystyle s_{20}\approx1{,}0173430000
erro \approx0{,}000006\%.

Resposta

a)
f(x) =\frac{12\,M^3}{\pi^3} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3}\, \operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{M}\Bigr).
b)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^6} =\frac{\pi^6}{945}.
c) Veja acima os valores de s_N e seus erros percentuais para N=1,2,3,5,10,20.

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