Seja
e seja
uma função periódica de período
, tal que para
,
a) Mostre que a expansão em série de Fourier para
é dada por
b) Usando a identidade de Parseval para essa expansão mostre que
Passo 1
O enunciado define
como a extensão periódica de período
da função
válida em
, e pede:
- Encontrar a série de Fourier (conteúdo: coeficientes
de uma função par). - Usar a identidade de Parseval para somar
.
Passo 2
Como
é par, só teremos termos em cosseno. O coeficiente médio é
Passo 3
Para
,
Como
, basta
Fazendo duas integrações por partes obtemos
logo
Passo 4
Portanto a série de Fourier fica
como desejado.
Passo 5
Usando Parseval para período
:
Por outro lado,
Igualando as duas expressões e cancelando
dá
Resposta
a)
b)
b)