(1) Um gás é representado pela equação
, onde
é a pressão,
é a temperatura,
é o volume molar,
é a constante dos gases e
é uma constante.
gás sofre uma expansão onde o volume molar varia de
para
. Considere que durante a expansão a temperatura do gás se manteve constante igual a 300 K . Calcule o trabalho de expansão para os dos casos: (a) Expansão reversível e (b) Expansão irreversível, onde a pressão da vizinhança é constante e igual à pressão no estado de equilíbrio final.
Dados:
.
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um gás cuja pressão $ P $ está relacionada ao volume molar $ v $ e à temperatura $ T $ pela equação $ P = \frac{R T}{v - b} $. Queremos calcular o trabalho realizado quando esse gás expande de um volume molar de $ 0,02 , m^3/mol $ para $ 0,05 , m^3/mol $, mantendo a temperatura constante em $ 300 , K $. Vamos fazer isso para dois casos: expansão reversível e irreversível. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre trabalho em processos isotérmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na expansão reversível. Em um processo reversível isotérmico, o trabalho $ W $ realizado pelo gás pode ser calculado pela integral:
Aqui, $ P $ é a pressão que varia conforme o volume muda, e $ v_1 $ e $ v_2 $ são os volumes iniciais e finais, respectivamente.
Passo 3
Substituindo a expressão da pressão $ P = \frac{R T}{v - b} $ na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o trabalho.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Isso porque a integral de $ \frac{1}{v - b} $ em relação a $ v $ é $ \ln(v - b) $.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Sabemos que:
- $ R = 8,314 , J/mol·K $
- $ T = 300 , K $
- $ v_1 = 0,02 , m^3/mol $
- $ v_2 = 0,05 , m^3/mol $
- $ b = 1 \times 10^{-6} , m^3/mol $
Então,
Passo 6
Calculando os termos dentro do logaritmo:
Agora,
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
Passo 8
Agora, vamos para a expansão irreversível. Nesse caso, o trabalho realizado é dado por:
Onde $ P_{ext} $ é a pressão externa constante igual à pressão final, e $ \Delta V $ é a variação de volume.
Passo 9
Primeiro, precisamos encontrar a pressão final $ P_f $. Usando a equação $ P = \frac{R T}{v - b} $:
Como $ 1 , J/m^3 = 1 , Pa $, então $ P_f \approx 49.884 , Pa $.
Passo 10
Calculando a variação de volume $ \Delta V $:
Passo 11
Agora, calculamos o trabalho:
Resposta
(a) O trabalho de expansão reversível é aproximadamente $ 2284 , J/mol $.
(b) O trabalho de expansão irreversível é aproximadamente $ 1496 , J/mol $.