(1) Um gás é representado pela equação P=R T /(v-b), onde P é a pressão, T é a temperatura, v é o volume molar, R é a constante dos gases e b é uma constante. O gás sofre uma expansão onde o volume molar varia de 0,02 m^3 / mol para 0,05 m^3 / mol. Considere que durante a expansão a temperatura do gás se manteve constante igual a 300 K . Calcule o trabalho de expansão para os dos casos: (a) Expansão reversível e (b) Expansão irreversível, onde a pressão da vizinhança é constante e igual à pressão no estado de equilíbrio final.
Dados: R=8,314 J / mol cdot K, b=1 cdot 10^-6 m^3 / mol.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um gás cuja pressão $ P $ está relacionada ao volume molar $ v $ e à temperatura $ T $ pela equação $ P = \frac{R T}{v - b} $. Queremos calcular o trabalho realizado quando esse gás expande de um volume molar de $ 0,02 , m^3/mol $ para $ 0,05 , m^3/mol $, mantendo a temperatura constante em $ 300 , K $. Vamos fazer isso para dois casos: expansão reversível e irreversível. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre trabalho em processos isotérmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na expansão reversível. Em um processo reversível isotérmico, o trabalho $ W $ realizado pelo gás pode ser calculado pela integral:
W
Aqui, $ P $ é a pressão que varia conforme o volume muda, e $ v_1 $ e $ v_2 $ são os volumes iniciais e finais, respectivamente.

Passo 3

Substituindo a expressão da pressão $ P = \frac{R T}{v - b} $ na integral, temos:
P = R Tv - b
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o trabalho.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
W = R T integral0,02^0,05 1v - b , dv = R T ln( v2 - bv1 - b )
Isso porque a integral de $ \frac{1}{v - b} $ em relação a $ v $ é $ \ln(v - b) $.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Sabemos que:
  • $ R = 8,314 , J/mol·K $
  • $ T = 300 , K $
  • $ v_1 = 0,02 , m^3/mol $
  • $ v_2 = 0,05 , m^3/mol $
  • $ b = 1 \times 10^{-6} , m^3/mol $
Então,
R = 8,314 , J/mol·K

Passo 6

Calculando os termos dentro do logaritmo:
0,05 - 0,0000010,02 - 0,000001 = 0,0499990,019999 approx 2,5
Agora,
W = 8,314 times 300 times ln(2,5)

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
ln(2,5) approx 0,9163
W = 8,314 times 300 times 0,9163 approx 2284 , J/mol

Passo 8

Agora, vamos para a expansão irreversível. Nesse caso, o trabalho realizado é dado por:
W = Pext De
Onde $ P_{ext} $ é a pressão externa constante igual à pressão final, e $ \Delta V $ é a variação de volume.

Passo 9

Primeiro, precisamos encontrar a pressão final $ P_f $. Usando a equação $ P = \frac{R T}{v - b} $:
Pf
Como $ 1 , J/m^3 = 1 , Pa $, então $ P_f \approx 49.884 , Pa $.

Passo 10

Calculando a variação de volume $ \Delta V $:
De

Passo 11

Agora, calculamos o trabalho:
W = Pf times De

Resposta

(a) O trabalho de expansão reversível é aproximadamente $ 2284 , J/mol $.
(b) O trabalho de expansão irreversível é aproximadamente $ 1496 , J/mol $.

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