Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos):
log 2 raiz4 a raiza bb raiz[3]a^2 b

Passo 1

O enunciado pede para “desenvolver”
log2raiz4araizabbraiz[3]a^2b
ou seja, aplicar as propriedades de logaritmo:
log2(u/v)=log2u-log2v
log2(ucdot v)=log2u+log2v
log2(u^k)=klog2u
e também usar raizx=x^1/2 e raiz[3]x=x^1/3.

Passo 2

Primeiro tiramos o expoente 1/2 da raiz e separamos numerador e denominador:
log2raiz4araizabbraiz[3]a^2b =tfrac12log2!l(4araizabr) -tfrac12log2!l(b,raiz[3]a^2br)

Passo 3

Agora expandimos cada logaritmo em soma de termos:
log2l(4araizabr) =log24+log2a+log2l((ab)^1/2r),
log2l(b,raiz[3]a^2br) =log2b+log2l((a^2b)^1/3r)

Passo 4

Aplicando a regra do expoente em cada termo:
log24=2, log2l((ab)^1/2r) =tfrac12(log2a+log2b), log2l((a^2b)^1/3r) =tfrac13l(2log2a+log2br)
Logo, dentro dos colchetes de

Passo 5

2+log2a+tfrac12(log2a+log2b) -l[log2b+tfrac13(2log2a+log2b)r]
Reunindo coeficientes de log2a e log2b:
2+l(1+tfrac12-tfrac23r)log2a +l(tfrac12-1-tfrac13r)log2b =2+tfrac56,log2a-tfrac56,log2b

Passo 6

Lembrando o fator tfrac12 que estava fora:
log2raiz4araizabbraiz[3]a^2b =tfrac12l(2+tfrac56,log2a-tfrac56,log2br) =1+tfrac512,log2a-tfrac512,log2b

Resposta

1+512log2a-512log2b
ou equivalentemente
1+512log2!l(abr)

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