Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma EDO autônoma de primeira ordem
e pede que a gente encontre as soluções de equilíbrio (pontos críticos), classifique sua estabilidade, faça um esboço qualitativo das soluções e descreva como o comportamento de
varia conforme o valor inicial
.
Passo 2
Para achar os equilíbrios, basta resolver
As soluções são
(raiz de multiplicidade 2) e
(raiz de multiplicidade 3).
Passo 3
Classificamos a estabilidade analisando o sinal de
em regiões ao redor de cada equilíbrio:
- Para
, temos e , logo : as soluções crescem em direção a valores maiores de . - Para
, também e , então : as soluções continuam crescendo. - Para
, temos e , logo : as soluções decrescem.
Logo:
- Em
o fluxo empurra para valores maiores de tanto à esquerda quanto à direita, portanto é um ponto de equilíbrio instável. - Em
o fluxo empurra das duas bandas ( para cima e para baixo) em direção a , logo é um ponto de equilíbrio estável (atraente).
Passo 4
Para ver que a aproximação aos equilíbrios leva tempo infinito, examine perto de
e
:
- Perto de
, . Da separação de variáveis e ao chegar em o tempo . - Perto de
, escreva , então e de modo que também exige .
Concluímos que as soluções se aproximam assintoticamente dos equilíbrios, mas nunca os atingem em tempo finito.
Passo 5
Com base na classificação e no diagrama de fase unidimensional (setas apontando para a direita em
e para a esquerda em
), descrevemos o comportamento para cada condição inicial:
- Se
, então e cresce monotonamente, aproximando-se de 0 quando . - Se
, a solução é constante . - Se
, então e cresce monotonamente, aproximando-se de 1 quando . - Se
, a solução é constante . - Se
, então e decresce monotonamente, aproximando-se de 1 quando .
Em um esboço qualitativo de
versus
, todas as curvas são monotônicas e tendem horizontalmente ao valor do equilíbrio atraente: ou 0 (para iniciais abaixo de 0) ou 1 (para iniciais em
).
Resposta
Equilíbrios:
(instável) e
(estável).
Comportamento das soluções conforme
:
-
: cresce e . -
: . -
: cresce e . -
: . -
: decresce e .