Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial y(0).
y^prime=y^2(1-y)^3

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO autônoma de primeira ordem
y' = y^2(1 - y)^3,
e pede que a gente encontre as soluções de equilíbrio (pontos críticos), classifique sua estabilidade, faça um esboço qualitativo das soluções e descreva como o comportamento de y(t) varia conforme o valor inicial y(0).

Passo 2

Para achar os equilíbrios, basta resolver
y^2(1 - y)^3 = 0
As soluções são y=0 (raiz de multiplicidade 2) e y=1 (raiz de multiplicidade 3).

Passo 3

Classificamos a estabilidade analisando o sinal de f(y)=y^2(1-y)^3 em regiões ao redor de cada equilíbrio:
  • Para y<0, temos y^2>0 e (1-y)^3>0, logo f(y)>0: as soluções crescem em direção a valores maiores de y.
  • Para 0<y<1, também y^2>0 e (1-y)^3>0, então f(y)>0: as soluções continuam crescendo.
  • Para y>1, temos y^2>0 e (1-y)^3<0, logo f(y)<0: as soluções decrescem.
Logo:
  • Em y=0 o fluxo empurra para valores maiores de y tanto à esquerda quanto à direita, portanto y=0 é um ponto de equilíbrio instável.
  • Em y=1 o fluxo empurra das duas bandas ( y<1 para cima e y>1 para baixo) em direção a y=1, logo y=1 é um ponto de equilíbrio estável (atraente).

Passo 4

Para ver que a aproximação aos equilíbrios leva tempo infinito, examine perto de y=0 e y=1:
  • Perto de y=0, y'approx y^2. Da separação de variáveis integral dyy^2 = integral dt Longrightarrow -1y = t + C, e ao chegar em yto0 o tempo tto+infty.
  • Perto de y=1, escreva u=1-y, então u'approx -u^3 e integral duu^3 = -integral dt Longrightarrow -12u^2 = -t + C, de modo que uto0 também exige tto+infty.
Concluímos que as soluções se aproximam assintoticamente dos equilíbrios, mas nunca os atingem em tempo finito.

Passo 5

Com base na classificação e no diagrama de fase unidimensional (setas apontando para a direita em (-infty,1) e para a esquerda em (1,+infty)), descrevemos o comportamento para cada condição inicial:
  • Se y(0)<0, então y'(t)>0 e y(t) cresce monotonamente, aproximando-se de 0 quando tto+infty.
  • Se y(0)=0, a solução é constante y(t)equiv0.
  • Se 0<y(0)<1, então y'(t)>0 e y(t) cresce monotonamente, aproximando-se de 1 quando tto+infty.
  • Se y(0)=1, a solução é constante y(t)equiv1.
  • Se y(0)>1, então y'(t)<0 e y(t) decresce monotonamente, aproximando-se de 1 quando tto+infty.
Em um esboço qualitativo de y versus t, todas as curvas são monotônicas e tendem horizontalmente ao valor do equilíbrio atraente: ou 0 (para iniciais abaixo de 0) ou 1 (para iniciais em (0,1)cup(1,infty)).

Resposta

Equilíbrios:
;y=0 (instável) e ;y=1 (estável).
Comportamento das soluções conforme y(0):
  • y(0)<0: y(t) cresce e limttoinftyy(t)=0.
  • y(0)=0: y(t)equiv0.
  • 0<y(0)<1: y(t) cresce e limttoinftyy(t)=1.
  • y(0)=1: y(t)equiv1.
  • y(0)>1: y(t) decresce e limttoinftyy(t)=1.

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