Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos):
log (raiz[3]a^4 raiza bb^2 raiz[3]b c)^2

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a expressão
log l(raiz[3]a^4raizabb^2raiz[3]bcr)^2
usando as propriedades de logaritmos (potência, produto e quociente). Vamos reescrever raízes como expoentes fracionários e depois aplicar as regras de logaritmo.

Passo 2

Primeiro observamos que
l(raiz[3]Mr)^2 = M^2/3,
onde
M = a^4raizabb^2raiz[3]bc
Logo a expressão vira
logl(M^2/3r)

Passo 3

Pela propriedade de potência do logaritmo, temos
logl(M^2/3r) = 23,log M
Agora substituímos M por a^4raizabb^2raiz[3]bc.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente e do produto em log M:
log M = logl(a^4raizabr) ;-;logl(b^2raiz[3]bcr)
Portanto
logl(raiz[3]tfraca^4raizabb^2raiz[3]bcr)^2 = 23l[logl(a^4raizabr)-logl(b^2raiz[3]bcr)r]

Passo 5

Dentro de cada logaritmo, escrevemos as raízes como expoentes e aplicamos a regra do produto:
logl(a^4raizabr) = logl(a^4r) + logl((ab)^1/2r) = 4log a + tfrac12(log a + log b),
logl(b^2raiz[3]bcr) = logl(b^2r) + logl((bc)^1/3r) = 2log b + tfrac13(log b + log c)

Passo 6

Substituindo esses resultados em 23[cdots]:
23l[4log a + tfrac12log a + tfrac12log b ;-;2log b - tfrac13log b - tfrac13log cr]
No colchete somamos coeficientes de log a e log b:
4+tfrac12=tfrac92, tfrac12 -2 -tfrac13 = -tfrac116,
ficando
23l[tfrac92log a - tfrac116log b - tfrac13log cr]

Passo 7

Por fim, distribuímos tfrac23:
23cdottfrac92,log a ;-;23cdottfrac116,log b ;-;23cdottfrac13,log c = 3log a - tfrac119log b - tfrac29log c

Resposta

3log a ;-;dfrac119log b ;-;dfrac29log c

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