Uma das Leis Kirchhof implica que num certo circuito elétrico simples se satisfaz a igualdade
onde e correspondem à voltagem e a corrente no instante e e são resitência e a indutância constante do circuito, respetivamente.
(a) Suponha que num circuito específico, e uma bateria fornece uma voltagem constante de 60 V . Se em tem-se , determine o valor de e o valor límite da corrente.
(b) Como mudam os valores encontrados no item anterior se no lugar de uma bateria, é usado um gerador que fornece uma voltagem variavel dada por ?
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial linear de ª ordem que vem da lei de Kirchhoff para um circuito RL:
com , . Vamos resolver dois casos: (a) constante, com . (b), com a mesma condição inicial.
O método é padronizar para
usar solução geral solução homogênea particular e impor .
Passo 2
Dividindo por chegamos a
Para cada caso, identificamos o coeficiente de amortecimento e forçamento .
Passo 3
Caso (a): constante.
A solução homogênea é
Uma particular constante satisfaz , logo .
Assim
Impondo dá , logo
Passo 4
Ainda no caso (a):
e o valor limite quando é
Passo 5
Caso (b): .
Usamos fator integrante . Então
Como , basta avaliar a integral.
Passo 6
Usando a fórmula
com , , obtemos
Como 3^2+30^2=909 e simplificando fatores, a solução final é
I(t) =5sin(30t)-50cos(30t)101 +50101,e^-3t
Passo 7
Ainda no caso (b):
Para t=1,
I(1) =5sin(30)-50cos(30)101 +50101e^-3
Para ttoinfty o termo exponencial some e a corrente tende ao regime forçado
Iinfty(t) =5sin(30t)-50cos(30t)101
Resposta
(a) I(1)=5-5e^-3 A limttoinftyI(t)=5 A
(b) I(1)=dfrac5sin(30)-50cos(30)101+dfrac50101e^-3 A limttoinftyI(t)=5sin(30t)-50cos(30t)101