Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos):
log 3(a cdot b^3c cdot raiz[3]a^2)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver
log3!l(tfracacdot b^3ccdot raiz[3]a^2r)
usando propriedades de logaritmo: transformações de produto, quociente, potência e radiciação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz cúbica em forma de potência. Sabemos que
raiz[3]a^2 = a^2/3.
Logo, o argumento do logaritmo fica
acdot b^3ccdot raiz[3]a^2 = acdot b^3ccdot a^2/3 = a^1,b^3c,a^2/3

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade do logaritmo de quociente:
log3!l(tfracXYr) = log3(X) ;-;log3(Y)
Aqui X = a^1b^3 e Y = c,a^2/3. Então
log3!l(tfraca^1b^3c,a^2/3r) = log3l(a^1b^3r) ;-;log3l(c,a^2/3r)

Passo 4

Em cada logaritmo usamos a propriedade de produto:
log3(MN) = log3(M) + log3(N)
Assim,
log3l(a^1b^3r) = log3(a^1) + log3(b^3), log3l(c,a^2/3r) = log3(c) + log3l(a^2/3r)

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade de potência: podemos trazer expoentes para frente do logaritmo:
log3(M^k) = k,log3(M)
Logo,
log3(a^1) = 1cdot log3(a), log3(b^3) = 3cdot log3(b), log3l(a^2/3r) = tfrac23,log3(a)

Passo 6

Reunindo tudo com sinais de soma e subtração, temos
log3!l(tfracacdot b^3ccdot raiz[3]a^2r) = l[log3(a) + 3,log3(b)r] - l[log3(c) + tfrac23,log3(a)r]
Distribuindo o sinal de menos e combinando termos semelhantes em log3(a):
= log3(a) + 3,log3(b) - log3(c) - tfrac23,log3(a) = l(1 - tfrac23r)log3(a) + 3,log3(b) - log3(c)
E 1 - tfrac23 = tfrac13.

Resposta

log3!l(tfracacdot b^3ccdot raiz[3]a^2r) = tfrac13,log3(a) ;+; 3,log3(b);-;log3(c)

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