Uma mistura binária, com composição equimolar é separada em um vaso flash isotérmico, apresentando uma fração vaporizada igual a 50 \%. Admitindo que a mistura binária tenha comportamento ideal, seguindo a Lei de Raoult, com volatilidade relativa igual a 2, assinale a opção correspondente à composição do componente mais volátil na fase líquida na saída do separador flash.
(Questão 65/INMETRO/ Pesquisador Tecnologista em Metrologia e Qualidade/Área: Metrologia em Química/Ano: 2010)
e (2 \sqrt{2}-1) / 2
(a) \sqrt{2} / 2
(c) (\sqrt{2}-0,5) / 2
(C) \sqrt{2}-1
(e) (\sqrt{2}-1) / 2

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que pego do enunciado):
  • A mistura é binária e a composição global (alimentação) é equimolar, ou seja z_A=0,5.
  • O separador é um flash isotérmico e a fração vaporizada é V/F=0,5 (metade da alimentação vai para vapor).
  • A mistura comporta-se como ideal e obedece à Lei de Raoult.
  • A volatilidade relativa (razão de constantes de equilíbrio) do componente mais volátil A em relação ao menos volátil B é K_A/K_B=2.
    O que se pede:
  • Determinar a composição do componente mais volátil na fase líquida na saída do flash, ou seja x_A da corrente líquida.

Passo 2

Conceitos e variáveis básicas (aula rápida para usar na prova).
  • Denotar x\equiv x_A a fração molar de A na fase líquida, e y\equiv y_A a fração molar de A na fase vapor.
  • Denotar \beta\equiv V/F a fração vaporizada (aqui \beta=0,5).
  • Balanço de material para o componente A num flash (balanço global de moles por componente) dá a equação de mistura entre fases:
z = (1-\beta)\,x + \beta\,y,
onde z é a composição global da alimentação ( z=0,5 no enunciado). Essa fórmula vem de: moles de A na alimentação = moles de A no líquido + moles de A no vapor, dividindo por F.

Passo 3

Lei de equilíbrio (Lei de Raoult) e constantes de equilíbrio K.
  • Para solução ideal e vapor ideal, a relação de equilíbrio é \;y_i = K_i\,x_i\;, onde K_i é a constante de equilíbrio do componente i ( K_i = P_i^{\text{sat}}/P em Raoult).
  • Para os dois componentes A e B temos y = K_A x e y_B = K_B (1-x).
  • A volatilidade relativa dada pelo enunciado é
\frac{K_A}{K_B}=2.
Isso significa K_A=2K_B.

Passo 4

Aplicar os dados numéricos do enunciado no balanço de material.
  • Substituindo \beta=0,5 e z=0,5 em z=(1-\beta)x+\beta y obtemos:
0,5 = 0,5\,x + 0,5\,y.
  • Multiplicando por 2 vem uma equação simples:
x + y = 1.
Essa é uma relação direta entre x e y para este caso particular.

Passo 5

Usar as relações de equilíbrio para eliminar y (ou K).
  • Da Lei de Raoult: y = K_A x.
  • Também, pela soma das frações molares na fase vapor: y + y_B = 1, ou seja K_A x + K_B (1-x)=1. (Esta é a normalização da fase vapor.)
  • Podemos isolar K_B em função de x a partir dessa última equação:
K_A x + K_B (1-x)=1 \quad\Rightarrow\quad K_B(1-x)=1-K_A x.
Mas é prático usar a relação K_A=2K_B e a equação simples x+y=1 do passo anterior para eliminar K_B de forma direta.

Passo 6

Expressar y apenas em função de x usando K_A=2K_B e a normalização y+y_B=1.
  • Da normalização: K_A x + K_B(1-x)=1. Substituindo K_A=2K_B temos
2K_B x + K_B(1-x)=1 \quad\Rightarrow\quad K_B(1+x)=1.
  • Logo
K_B=\frac{1}{1+x}.
  • Como K_A=2K_B, obtemos
K_A=\frac{2}{1+x}.
  • Portanto y=K_A x fica
y=\frac{2}{1+x}\,x=\frac{2x}{1+x}.

Passo 7

Combinar com a relação do passo 4 ( x+y=1) e montar a equação para x.
  • Substituindo y=\dfrac{2x}{1+x} em x+y=1 dá:
x + \frac{2x}{1+x} = 1.
  • Multiplicar ambos os lados por 1+x:
x(1+x) + 2x = 1+x.
  • Desenvolvendo e rearranjando:
x + x^2 + 2x = 1 + x \quad\Rightarrow\quad x^2 + 3x = 1 + x.
x^2 + 2x - 1 = 0.

Passo 8

Resolver a equação quadrática e escolher a raiz fisicamente admissível.
  • A equação é \;x^2 + 2x -1 = 0.
  • Usando a fórmula quadrática:
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.
  • As duas raízes são x = -1 - \sqrt{2} (negativa, impossível para fração molar) e x = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2}-1.
  • Como x deve estar entre 0 e 1, escolhemos
x = \sqrt{2}-1 \approx 0,4142\\ ( \text{ou }0,414\text{ com vírgula conforme convensão}).íã

Resposta

\sqrt{2}-1

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