Desenvolver expressões para
e
das seguintes partículas de geometria simples:
cone de diâmetro da base D e altura H
cone de diâmetro da base D e altura H
Passo 1
O enunciado dá uma partícula com geometria de cone: diâmetro da base
e altura
. Pede-se desenvolver expressões para
e
dessa partícula.
Informações fornecidas (explicitamente):
Informações fornecidas (explicitamente):
- Diâmetro da base:
. - Altura:
.
Passo 2
Definir claramente o que vamos calcular (sem assumir que já sabe):
-
aqui vamos tomar como o diâmetro da esfera que tem o mesmo volume do cone (diâmetro equivalente por volume). Isso é uma definição padrão em tecnologia de partículas e permite comparar tamanhos por volume. -
é a esfericidade (sphericity): razão entre a área de superfície de uma esfera com o mesmo volume da partícula e a área de superfície real da partícula. Em forma simbólica:
Vou explicar e aplicar as fórmulas necessárias para obter
e
em função de
e
.
Passo 3
Calcular o volume do cone em função de
e
.
Fórmula conhecida (e curta explicação): o volume de um cone de raio da base e altura
é
Fórmula conhecida (e curta explicação): o volume de um cone de raio da base
Aqui
é metade de
, ou seja
. Substituindo:
Portanto:
Passo 4
Calcular a área superficial total do cone (base + superfície lateral).
Componentes:
Componentes:
- Área da base:
- Área lateral:
, onde é a geratriz (slant height). A geratriz é a hipotenusa do triângulo formado por e , então
Portanto a área lateral é
A área total
é soma da base com a lateral:
Passo 5
Determinar
(diâmetro da esfera de mesmo volume).
Volume de uma esfera em função do diâmetro : usar
para raio,
, então
Volume de uma esfera em função do diâmetro
Igualando o volume da esfera ao volume do cone
e resolvendo para
dá
Agora substituir
:
Logo
Isso é uma expressão simples e elegante: o diâmetro equivalente por volume depende como a raiz cúbica de
com fator
.
Passo 6
Determinar a esfericidade
.
Definição prática que usei:
Definição prática que usei:
Área da esfera de diâmetro
é
(porque área de esfera =
). Portanto
Substituir
e
. Observando que um fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador, ele se cancela. Assim:
Se quiser, essa expressão pode ser reorganizada, mas já está explícita em função de
e
.
Observação didática rápida e motivadora: a esfericidade varia entre 0 e 1; para formas muito arredondadas
fica próximo de 1, e para formas alongadas/planas fica bem menor. No caso do cone, quando
é pequeno comparado a
(cone achatado) a esfericidade muda; quando
aumenta muito o cone fica mais afilado e
tende a diminuir.