Desenvolver expressões para d_{p} e \varphi das seguintes partículas de geometria simples:
cone de diâmetro da base D e altura H

Passo 1

O enunciado dá uma partícula com geometria de cone: diâmetro da base D e altura H. Pede-se desenvolver expressões para d_{p} e \varphi dessa partícula.
Informações fornecidas (explicitamente):
  • Diâmetro da base: D.
  • Altura: H.

Passo 2

Definir claramente o que vamos calcular (sem assumir que já sabe):
  • d_{p} aqui vamos tomar como o diâmetro da esfera que tem o mesmo volume do cone (diâmetro equivalente por volume). Isso é uma definição padrão em tecnologia de partículas e permite comparar tamanhos por volume.
  • \varphi é a esfericidade (sphericity): razão entre a área de superfície de uma esfera com o mesmo volume da partícula e a área de superfície real da partícula. Em forma simbólica:
\varphi=\frac{\text{área da esfera de mesmo volume}}{\text{área da partícula}}.ááí
Vou explicar e aplicar as fórmulas necessárias para obter d_{p} e \varphi em função de D e H.

Passo 3

Calcular o volume do cone em função de D e H.
Fórmula conhecida (e curta explicação): o volume de um cone de raio da base r e altura H é
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}H.
Aqui r é metade de D, ou seja r=\dfrac{D}{2}. Substituindo:
V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}H=\frac{1}{3}\pi\frac{D^{2}}{4}H=\frac{\pi D^{2}H}{12}.
Portanto:
V=\frac{\pi D^{2}H}{12}.

Passo 4

Calcular a área superficial total do cone (base + superfície lateral).
Componentes:
  • Área da base: A_{\text{base}}=\pi r^{2}=\pi\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}=\pi\dfrac{D^{2}}{4}.
  • Área lateral: A_{\text{lat}}=\pi r s, onde s é a geratriz (slant height). A geratriz é a hipotenusa do triângulo formado por r e H, então
s=\sqrt{r^{2}+H^{2}}=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+H^{2}}=\sqrt{\frac{D^{2}}{4}+H^{2}}.
Portanto a área lateral é
A_{\text{lat}}=\pi\left(\frac{D}{2}\right)\sqrt{\frac{D^{2}}{4}+H^{2}}.
A área total A é soma da base com a lateral:
A=\pi\frac{D^{2}}{4}+\pi\frac{D}{2}\sqrt{\frac{D^{2}}{4}+H^{2}}=\pi\frac{D}{2}\left(\frac{D}{2}+\sqrt{\frac{D^{2}}{4}+H^{2}}\right).

Passo 5

Determinar d_{p} (diâmetro da esfera de mesmo volume).
Volume de uma esfera em função do diâmetro d: usar a para raio, a=\dfrac{d}{2}, então
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi a^{3}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}=\frac{\pi d^{3}}{6}.
Igualando o volume da esfera ao volume do cone V e resolvendo para d
\frac{\pi d_{p}^{3}}{6}=V \quad\Rightarrow\quad d_{p}=\left(\frac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.
Agora substituir V=\dfrac{\pi D^{2}H}{12}:
\frac{6V}{\pi}=\frac{6}{\pi}\cdot\frac{\pi D^{2}H}{12}=\frac{6}{12}D^{2}H=\frac{D^{2}H}{2}.
Logo
d_{p}=\left(\frac{D^{2}H}{2}\right)^{1/3}.
Isso é uma expressão simples e elegante: o diâmetro equivalente por volume depende como a raiz cúbica de D^{2}H com fator 2^{-1/3}.

Passo 6

Determinar a esfericidade \varphi.
Definição prática que usei:
\varphi=\frac{\text{área da esfera de mesmo volume}}{\text{área da partícula}}.ááí
Área da esfera de diâmetro d_{p} é A_{\text{esfera}}=\pi d_{p}^{2} (porque área de esfera = 4\pi a^{2}=\pi d^{2}). Portanto
\varphi=\frac{\pi d_{p}^{2}}{A}.
Substituir d_{p}^{2}=\left(\dfrac{D^{2}H}{2}\right)^{2/3} e A=\pi\dfrac{D}{2}\left(\dfrac{D}{2}+\sqrt{\dfrac{D^{2}}{4}+H^{2}}\right). Observando que um fator \pi aparece tanto no numerador quanto no denominador, ele se cancela. Assim:
\varphi=\frac{\left(\dfrac{D^{2}H}{2}\right)^{2/3}}{\dfrac{D}{2}\left(\dfrac{D}{2}+\sqrt{\dfrac{D^{2}}{4}+H^{2}}\right)}.
Se quiser, essa expressão pode ser reorganizada, mas já está explícita em função de D e H.
Observação didática rápida e motivadora: a esfericidade varia entre 0 e 1; para formas muito arredondadas \varphi fica próximo de 1, e para formas alongadas/planas fica bem menor. No caso do cone, quando H é pequeno comparado a D (cone achatado) a esfericidade muda; quando H aumenta muito o cone fica mais afilado e \varphi tende a diminuir.

Resposta

d_{p}=\left(\dfrac{D^{2}H}{2}\right)^{1/3}
\displaystyle \varphi=\frac{\left(\dfrac{D^{2}H}{2}\right)^{2/3}}{\dfrac{D}{2}\left(\dfrac{D}{2}+\sqrt{\dfrac{D^{2}}{4}+H^{2}}\right)}

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