1 - Para desenvolver expressões matemáticas para energia potencial gravitacional e energia cinética, analisamos a seguinte situação: um cabo levanta um bloco da posição vertical y_{i} para a posição vertical y_{f}. Quando na posição y_{i} o bloco está se movendo para cima em velocidade v_{y j}, e quando na posição y_{f}. ele está se movendo para cima em velocidade maior
v_{X^{\prime}}.
b. Escreva uma expressão para o trabalho que o cabo realiza sobre o bloco durante seu deslocamento y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}}.

Passo 1

O enunciado pede especificamente (b) uma expressão para o trabalho que o cabo realiza sobre o bloco quando ele é levantado de y_i para y_f. Informações dadas (ou necessárias) que vou usar:
  • O bloco tem massa m (o enunciado não deu m, mas é necessário introduzir a massa para escrever energia).
  • O deslocamento vertical é \Delta y = y_f - y_i.
  • A velocidade do bloco na posição inicial y_i é v_{yj} (dado).
  • A velocidade do bloco na posição final y_f é v_{X'} (dado).
  • A força peso tem intensidade mg, com g a aceleração da gravidade.
  • Vou assumir que não há outras forças dissipativas importantes (por exemplo, atrito ou resistência do ar).

Passo 2

Conceitos fundamentais que vou usar (com explicações simples):
  • Trabalho de uma força: o trabalho realizado por uma força constante \vec{F} ao longo de um deslocamento \Delta \vec{r} é W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{r}. No caso vertical, se a força faz deslocamento \Delta y para cima e a componente da força na vertical é F_y, então W = F_y\,(y_f-y_i).
  • Energia cinética: a energia cinética de um corpo de massa m com velocidade escalar v é
K=\tfrac{1}{2}m v^2.
Isso mede “quanto de movimento” em termos energéticos o corpo tem.
  • Energia potencial gravitacional (referência qualquer): a energia potencial gravitacional associada à altura y é
U_g = m g y.
A diferença \Delta U_g = m g (y_f-y_i) é a energia armazenada (positiva se subir).
  • Teorema trabalho–energia (forma prática): a soma dos trabalhos das forças que atuam sobre o corpo é igual à variação da energia cinética:
\sum W = \Delta K = K_f - K_i.
Aqui as forças que atuam verticalmente são a força do cabo (trabalho W_{\text{cabo}}) e o peso (trabalho W_g).

Passo 3

Aplicando o teorema trabalho–energia ao bloco:
  • As forças relevantes são a força do cabo (fazendo trabalho W_{\text{cabo}}) e o peso (fazendo trabalho W_g).
  • Pelo teorema:
W_{\text{cabo}} + W_g = \Delta K.
Isso é uma equação direta: o trabalho total pelas forças = mudança na energia cinética.

Passo 4

Calcular explicitamente o trabalho do peso W_g:
  • A força peso aponta para baixo com módulo mg. O deslocamento é para cima \Delta y = y_f-y_i.
  • O trabalho escalar do peso é
W_g = \int_{y_i}^{y_f} (-mg)\,dy = -mg\,(y_f-y_i).
Explicando o sinal: peso é para baixo (negativo na direção +\!y), deslocamento é para cima, então o produto é negativo — o peso retira energia do bloco quando ele sobe.

Passo 5

Substituir W_g na equação do teorema trabalho–energia e isolar W_{\text{cabo}}:
W_{\text{cabo}} + \bigl(-mg\,(y_f-y_i)\bigr) = \Delta K.
Logo
W_{\text{cabo}} = \Delta K + mg\,(y_f-y_i).

Passo 6

Expressar \Delta K em função das velocidades dadas:
  • A variação da energia cinética é
\Delta K = K_f - K_i = \tfrac{1}{2}m v_{X'}^{2} - \tfrac{1}{2}m v_{yj}^{2} = \tfrac{1}{2}m\bigl(v_{X'}^{2}-v_{yj}^{2}\bigr).
  • Substituindo em W_{\text{cabo}} obtemos a expressão final:
W_{\text{cabo}} = \tfrac{1}{2}m\bigl(v_{X'}^{2}-v_{yj}^{2}\bigr) + mg\,(y_f-y_i).
Também se pode escrever de forma compacta como
W_{\text{cabo}} = \Delta\bigl(K+U_g\bigr),
isto é, o trabalho do cabo é a variação da energia mecânica (cinética mais potencial gravitacional) do bloco.

Resposta

W_{\text{cabo}}=\tfrac{1}{2}m\bigl(v_{X'}^{2}-v_{yj}^{2}\bigr)+mg\,(y_f-y_i)

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