1 - Para desenvolver expressões matemáticas para energia potencial gravitacional e energia cinética, analisamos a seguinte situação: um cabo levanta um bloco da posição vertical
para a posição vertical
. Quando na posição
o bloco está se movendo para cima em velocidade
, e quando na posição
. ele está se movendo para cima em velocidade maior
.
b. Escreva uma expressão para o trabalho que o cabo realiza sobre o bloco durante seu deslocamento
.
Passo 1
O enunciado pede especificamente (b) uma expressão para o trabalho que o cabo realiza sobre o bloco quando ele é levantado de
para
. Informações dadas (ou necessárias) que vou usar:
- O bloco tem massa
(o enunciado não deu , mas é necessário introduzir a massa para escrever energia). - O deslocamento vertical é
. - A velocidade do bloco na posição inicial
é (dado). - A velocidade do bloco na posição final
é (dado). - A força peso tem intensidade
, com a aceleração da gravidade. - Vou assumir que não há outras forças dissipativas importantes (por exemplo, atrito ou resistência do ar).
Passo 2
Conceitos fundamentais que vou usar (com explicações simples):
- Trabalho de uma força: o trabalho realizado por uma força constante
ao longo de um deslocamento é . No caso vertical, se a força faz deslocamento para cima e a componente da força na vertical é , então . - Energia cinética: a energia cinética de um corpo de massa
com velocidade escalar é
Isso mede “quanto de movimento” em termos energéticos o corpo tem.
- Energia potencial gravitacional (referência qualquer): a energia potencial gravitacional associada à altura
é
A diferença
é a energia armazenada (positiva se subir).
- Teorema trabalho–energia (forma prática): a soma dos trabalhos das forças que atuam sobre o corpo é igual à variação da energia cinética:
Aqui as forças que atuam verticalmente são a força do cabo (trabalho
) e o peso (trabalho
).
Passo 3
Aplicando o teorema trabalho–energia ao bloco:
- As forças relevantes são a força do cabo (fazendo trabalho
) e o peso (fazendo trabalho ). - Pelo teorema:
Isso é uma equação direta: o trabalho total pelas forças = mudança na energia cinética.
Passo 4
Calcular explicitamente o trabalho do peso
:
- A força peso aponta para baixo com módulo
. O deslocamento é para cima . - O trabalho escalar do peso é
Explicando o sinal: peso é para baixo (negativo na direção
), deslocamento é para cima, então o produto é negativo — o peso retira energia do bloco quando ele sobe.
Passo 5
Substituir
na equação do teorema trabalho–energia e isolar
:
Logo
Passo 6
Expressar
em função das velocidades dadas:
- A variação da energia cinética é
- Substituindo em
obtemos a expressão final:
Também se pode escrever de forma compacta como
isto é, o trabalho do cabo é a variação da energia mecânica (cinética mais potencial gravitacional) do bloco.