Questão 8 - Um bloco com velocidade inicial v_{o}=6,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} desliza por uma pista constituída por dois trechos planos e uma depressão intermediária. O atrito entre a pista e o bloco é desprezível até que ele chegue ao segundo trecho plano, cujo coeficiente de atrito dinâmico é \mu=0,60 e onde percorre uma distância d antes de parar. Determine o valor de d, sabendo-se que a diferença de altura entre os dois trechos é h=1,0 \mathrm{~m}. Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede claramente o seguinte (peguei os valores da figura quando indicado):
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial do bloco na parte plana esquerda: v_{0}=6{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Diferença de altura entre o trecho inicial e o segundo trecho plano: h=1{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de atrito dinâmico no segundo trecho plano: \mu=0{,}60.
    • Durante a descida pela depressão o atrito é desprezível (ou seja, \mu\approx0 nessa região).
    • A aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • O que é pedido:
    • Determinar a distância d que o bloco percorre sobre o segundo trecho plano (onde \mu=0{,}60) até parar.
  • Observações claras extraídas do enunciado/figura:
    • O bloco parte com v_{0} no nível mais baixo inicial, passa pela depressão sem perda por atrito e sobe até o segundo plano mais alto (diferença h), onde encontra atrito e para depois de percorrer d.

Passo 2

Entendendo as energias e a ideia física (aula curta, sem pular etapas).
  • Energia cinética: para um corpo de massa m com velocidade v vale K=\frac{1}{2} m v^{2},onde m é a massa do bloco (que vai se cancelar nas contas) e v é a velocidade.
  • Energia potencial gravitacional: para uma elevação vertical y em relação a uma referência, U=m g y,onde g é a aceleração da gravidade e y a altura (positiva para cima).
  • Trabalho da força de atrito cinético numa superfície horizontal de comprimento d: a força de atrito tem intensidade F_{\text{atrito}}=\mu m g (normal igual a m g em plano horizontal) e o trabalho realizado por essa força sobre o deslocamento d é W_{\text{atrito}}=-\mu m g d,o sinal negativo indica que o atrito retira energia mecânica do sistema.
  • Como não há atrito até o início do segundo trecho plano, a energia mecânica (cinética + potencial) é conservada entre o início e o instante em que o bloco chega no começo do trecho com atrito. Depois, a energia cinética que resta é dissipada pelo trabalho do atrito até parar.

Passo 3

Aplicando conservação de energia desde o ponto inicial até o começo do trecho com atrito e obtendo a velocidade no topo.
  • Escrevendo a conservação (energia inicial = energia no início do trecho com atrito): \frac{1}{2} m v_{0}^{2}= \frac{1}{2} m v_{\text{top}}^{2} + m g h,onde v_{\text{top}} é a velocidade do bloco ao alcançar o segundo trecho plano (após subir a altura h).
  • Isolando v_{\text{top}}^{2}: \frac{1}{2} m v_{\text{top}}^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - m g h \quad\Rightarrow\quad v_{\text{top}}^{2}=v_{0}^{2}-2 g h.
  • Substituindo os números (todos em unidades SI): v_{0}^{2} = (6{,}0)^{2}=36,\qquad 2 g h = 2\cdot 10\cdot 1{,}0 = 20,então v_{\text{top}}^{2}=36-20=16.
  • Portanto v_{\text{top}}=\sqrt{16}=4{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.(Interpretação rápida: o bloco ainda chega ao segundo plano com velocidade não nula, suficiente para percorrer alguma distância antes de parar.)

Passo 4

Energia disponível no topo é dissipada pelo atrito ao longo da distância d. Escrevendo o balanço de energia na região com atrito:
  • A energia cinética no início do trecho com atrito é K_{\text{top}}=\dfrac{1}{2} m v_{\text{top}}^{2}.
  • O trabalho total da força de atrito ao parar o bloco é W_{\text{atrito}}=-\mu m g d.
  • Como no final o bloco pára, a energia cinética final é zero. Assim: \frac{1}{2} m v_{\text{top}}^{2} + (-\mu m g d)=0.Rearranjando (e observando que m cancela): \mu g d=\frac{1}{2} v_{\text{top}}^{2} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{v_{\text{top}}^{2}}{2\mu g}.
  • Substituindo v_{\text{top}}^{2}=16 (do Passo 3) e os valores de \mu e g: d=\frac{16}{2\cdot 0{,}60\cdot 10}.

Passo 5

Cálculo numérico final e verificação rápida.
  • Calculando o denominador: 2\cdot 0{,}60\cdot 10=12.
  • Logo d=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}\approx1{,}333\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando razoavelmente com os dados fornecidos (duas casas significativas em v_{0} e \mu), podemos apresentar d=1{,}33\\ \mathrm{m}.
  • Checagem de sanidade: d>0 e um valor da ordem de metros é coerente com a energia disponível ( 1/2 m v_{0}^{2}=18 m J por kg; parte foi gasta para subir m g h =10 J/kg, sobrando 8 J/kg que o atrito dissipa — com \mu g=6 N/kg isso dá d\approx 8/6\approx1{,}33 m). Tudo consistente!

Resposta

d=1{,}33\\ \mathrm{m}

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