Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função dentro do limite é
. - O ponto de aproximação é
. - Precisamos observar se a expressão faz sentido (domínio) perto de
e se o denominador fica zero quando — isso influencia se podemos simplesmente substituir .
Passo 2
Explicação didática sobre continuidade (para eu te deixar confiante na hora da prova): uma função composta por operações elementares (adição, multiplicação, raiz quadrada) é contínua sempre que todas as operações são bem definidas. Mais precisamente:
- A função linear
é contínua em todo . - A função raiz quadrada
é contínua em seu domínio . - A composição
, isto é, , é contínua nos tal que . - Soma e divisão (quando o denominador não é zero) preservam continuidade.
Conclusão útil para a prova: se a função é contínua no ponto de interesse e o denominador naquele ponto é diferente de zero, o limite quandotende ao ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto (ou seja, podemos substituir).
Passo 3
Verificar domínio e o valor do denominador em
. Primeiro checamos o argumento da raiz:
que é
, então a raiz está bem definida em
. Agora o denominador:
Vou calcular isso explicitamente no próximo passo.
Passo 4
Calcular
. Sabemos que
. Portanto
Como o denominador em
é
, podemos usar a propriedade da continuidade explicada antes e substituir diretamente
no interior da função para obter o limite.
Passo 5
Aplicar a substituição direta para calcular o limite (justificada pela continuidade e denominador não nulo):
Se você preferir fazer uma verificação algébrica alternativa, podia racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
e observar que, ao levar
, dá o mesmo resultado — mas não é necessário aqui porque a substituição já é segura.
Resposta
1