Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3}{\sqrt{3 x+1}+1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função dentro do limite é \displaystyle f(x)=\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
  • Precisamos observar se a expressão faz sentido (domínio) perto de x=1 e se o denominador fica zero quando x=1 — isso influencia se podemos simplesmente substituir x=1.

Passo 2

Explicação didática sobre continuidade (para eu te deixar confiante na hora da prova): uma função composta por operações elementares (adição, multiplicação, raiz quadrada) é contínua sempre que todas as operações são bem definidas. Mais precisamente:
  • A função linear g(x)=3x+1 é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função raiz quadrada h(t)=\sqrt{t} é contínua em seu domínio t\ge 0.
  • A composição h\circ g, isto é, x\mapsto \sqrt{3x+1}, é contínua nos x tal que 3x+1\ge 0.
  • Soma e divisão (quando o denominador não é zero) preservam continuidade.
    Conclusão útil para a prova: se a função é contínua no ponto de interesse e o denominador naquele ponto é diferente de zero, o limite quando x tende ao ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto (ou seja, podemos substituir).

Passo 3

Verificar domínio e o valor do denominador em x=1. Primeiro checamos o argumento da raiz:
3x+1 \quad\text{em}\quad x=1 \;\Rightarrow\; 3\cdot 1+1 = 4,
que é \ge 0, então a raiz está bem definida em x=1. Agora o denominador:
\sqrt{3\cdot 1+1}+1 = \sqrt{4}+1.
Vou calcular isso explicitamente no próximo passo.

Passo 4

Calcular \sqrt{4}. Sabemos que \sqrt{4}=2. Portanto
\sqrt{3\cdot 1+1}+1 = 2+1 = 3.
Como o denominador em x=1 é \,3\neq 0, podemos usar a propriedade da continuidade explicada antes e substituir diretamente x=1 no interior da função para obter o limite.

Passo 5

Aplicar a substituição direta para calcular o limite (justificada pela continuidade e denominador não nulo):
\lim_{x\to 1} \frac{3}{\sqrt{3x+1}+1} = \frac{3}{\sqrt{3\cdot 1+1}+1} = \frac{3}{3} = 1.
Se você preferir fazer uma verificação algébrica alternativa, podia racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3x+1}-1 e observar que, ao levar x\to1, dá o mesmo resultado — mas não é necessário aqui porque a substituição já é segura.

Resposta

1

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