a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a .
b) Use desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) \cong P_{n}(x), quando x estiver no intervalo dado.
i) \quad \mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \cdot \operatorname{sen} \mathrm{x}, \mathrm{a}=0 ; \mathrm{n}=4 ;-1 \leq x \leq 1
ii) \quad \mathrm{F}(\mathrm{x})=\ln (1+2 \mathrm{x}), \mathrm{a}=1 ; \mathrm{n}=3 ; 0,5 \leq x \leq 1,5
Passo 1
O enunciado pede dois itens para cada função:
a) construir o polinômio de Taylor de grau n centrado em a;
b) usar a desigualdade de Taylor para estimar \bigl|f(x)-P_{n}(x)\bigr| no intervalo dado.
Passo 2
Para f(x)=x\sin x, a=0 e n=4, calculamos as derivadas em 0:
f(x)=x\sin x,\quad f'(x)=\sin x + x\cos x,\quad f''(x)=2\cos x - x\sin x,
f'''(x)=-3\sin x - x\cos x,\quad f^{(4)}(x)=-4\cos x + x\sin x.
No intervalo x\in[0,5,\,1,5] temos u=1+2x\in[2,4], então \bigl|f^{(4)}(x)\bigr|=\tfrac{96}{u^{4}}\le\tfrac{96}{2^{4}}=6.
Pela desigualdade de Taylor, para algum \xi entre 1 e x: