Questão 3: (vlr. )

a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a .
b) Use desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) \cong P_{n}(x), quando x estiver no intervalo dado.
i) \quad \mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \cdot \operatorname{sen} \mathrm{x}, \mathrm{a}=0 ; \mathrm{n}=4 ;-1 \leq x \leq 1
ii) \quad \mathrm{F}(\mathrm{x})=\ln (1+2 \mathrm{x}), \mathrm{a}=1 ; \mathrm{n}=3 ; 0,5 \leq x \leq 1,5

Passo 1

O enunciado pede dois itens para cada função:
a) construir o polinômio de Taylor de grau n centrado em a;
b) usar a desigualdade de Taylor para estimar \bigl|f(x)-P_{n}(x)\bigr| no intervalo dado.

Passo 2

Para f(x)=x\sin x, a=0 e n=4, calculamos as derivadas em 0:
f(x)=x\sin x,\quad f'(x)=\sin x + x\cos x,\quad f''(x)=2\cos x - x\sin x,
f'''(x)=-3\sin x - x\cos x,\quad f^{(4)}(x)=-4\cos x + x\sin x.
Em x=0:
f(0)=0,\;f'(0)=0,\;f''(0)=2,\;f'''(0)=0,\;f^{(4)}(0)=-4.
Logo o polinômio de grau 4 é
P_{4}(x) =0 + 0\cdot x + \frac{2}{2!}x^{2} + 0\cdot x^{3} + \frac{-4}{4!}x^{4} = x^{2} - \frac{x^{4}}{6}.

Passo 3

A derivada de ordem 5 é
f^{(5)}(x)=5\sin x + x\cos x,
e em [-1,1] vale \bigl|f^{(5)}(x)\bigr|\le 5\cdot1 + 1\cdot1 =6.
Pela desigualdade de Taylor, para algum \xi entre 0 e x:
R_{4}(x) =\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^{5} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|R_{4}(x)\bigr|\le \frac{6\,|x|^{5}}{120} =\frac{|x|^{5}}{20}\le \frac{1}{20}.

Passo 4

Para f(x)=\ln(1+2x), a=1 e n=3, escrevemos u=1+2x. As derivadas são
f'(x)=\frac{2}{u},\quad f''(x)=-\frac{4}{u^{2}},\quad f'''(x)=\frac{16}{u^{3}},\quad f^{(4)}(x)=-\frac{96}{u^{4}}.
Em x=1 tem u=3, logo
f(1)=\ln 3,\; f'(1)=\frac{2}{3},\; f''(1)=-\frac{4}{9},\; f'''(1)=\frac{16}{27}.
O polinômio de grau 3 é
P_{3}(x) =\ln 3 +\frac{2}{3}(x-1) -\frac{4}{9}\,\frac{(x-1)^{2}}{2!} +\frac{16}{27}\,\frac{(x-1)^{3}}{3!} =\ln3+\frac{2}{3}(x-1)-\frac{2}{9}(x-1)^{2}+\frac{8}{81}(x-1)^{3}.

Passo 5

No intervalo x\in[0,5,\,1,5] temos u=1+2x\in[2,4], então \bigl|f^{(4)}(x)\bigr|=\tfrac{96}{u^{4}}\le\tfrac{96}{2^{4}}=6.
Pela desigualdade de Taylor, para algum \xi entre 1 e x:
R_{3}(x) =\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-1)^{4} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|R_{3}(x)\bigr|\le \frac{6\,|x-1|^{4}}{24} =\frac{|x-1|^{4}}{4}\le \frac{(0.5)^{4}}{4} =\frac{1}{64}.

Resposta

i) Para f(x)=x\sin x,
P_{4}(x)=x^{2}-\frac{x^{4}}{6}, \quad |R_{4}(x)|\le \frac{|x|^{5}}{20}\le \frac{1}{20}.
ii) Para f(x)=\ln(1+2x),
P_{3}(x)=\ln3+\frac{2}{3}(x-1)-\frac{2}{9}(x-1)^{2}+\frac{8}{81}(x-1)^{3}, \quad |R_{3}(x)|\le \frac{|x-1|^{4}}{4}\le \frac{1}{64}.

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