Desenvolver como série de Taylor, quando possível escreva na forma reduzida :
F(x)=e^{-5 x}

Passo 1

O enunciado pede para escrever F(x)=e^{-5x} como série de Taylor (Maclaurin), ou seja, expandi-la em potências de x em torno de x=0. Para isso vamos usar a definição de série de Taylor e calcular as derivadas gerais de F.

Passo 2

A série de Taylor de uma função f em torno de 0 é dada por
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n,
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0.

Passo 3

Vamos achar uma expressão para a n-ésima derivada de F(x)=e^{-5x}. Note que
F'(x)=-5e^{-5x},\quad F''(x)=(-5)^2e^{-5x},\quad F^{(3)}(x)=(-5)^3e^{-5x},\;\dots
Em geral, por indução,
F^{(n)}(x)=(-5)^n\,e^{-5x}.
Em particular, em x=0 isso fica
F^{(n)}(0)=(-5)^n\,e^{0}=(-5)^n.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor em torno de zero, obtemos
e^{-5x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-5)^n}{n!}\,x^n.
Se quisermos ver os primeiros termos, fica
e^{-5x} =1-5x+\frac{(-5)^2}{2!}x^2+\frac{(-5)^3}{3!}x^3+\cdots =1-5x+\frac{25}{2}x^2-\frac{125}{6}x^3+\cdots.

Passo 5

Como conclusão, a forma reduzida (ou forma compacta) da série de Taylor de e^{-5x} ao redor de 0 é
\boxed{e^{-5x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-5)^n}{n!}\,x^n.}

Resposta

e^{-5x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-5)^n}{n!}\,x^n.

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