Encontre a Derivada das Funções:
f(x)=x^{4}+2 x^{3 / 2}-\frac{1}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{4}+2\,x^{3/2}-\frac{1}{x^{2}}.
O conteúdo que vamos usar é a regra de potência, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl[x^{n}\bigr]=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Para aplicar a regra de potência com facilidade, reescrevemos o termo \frac{1}{x^{2}} como potência de expoente negativo:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Então
f(x)=x^{4}+2\,x^{3/2}-x^{-2}.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo usando \frac{d}{dx}[x^{n}]=n\,x^{n-1}:
  • Para x^{4}:
\frac{d}{dx}\bigl[x^{4}\bigr]=4\,x^{3}.
  • Para 2\,x^{3/2}:
\frac{d}{dx}\bigl[2\,x^{3/2}\bigr] =2\cdot\frac{3}{2}\,x^{3/2-1} =3\,x^{1/2}.
  • Para -x^{-2}:
\frac{d}{dx}\bigl[-x^{-2}\bigr] =-(-2)\,x^{-2-1} =2\,x^{-3}.

Passo 4

Juntando todos os resultados, temos:
f'(x)=4\,x^{3}+3\,x^{1/2}+2\,x^{-3}.
Se preferir, pode reescrever x^{1/2} como \sqrt{x} e x^{-3} como \tfrac{1}{x^{3}}.

Resposta

f'(x)=4x^{3}+3\sqrt{x}+\frac{2}{x^{3}}.

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