No desenvolvimento de um modelo matemático para um biodigestor no qual não ocorre inibição do crescimento microbiano, chegou-se à seguinte equação para descrever a taxa de variação temporal da quantidade de biogás produzida durante a biodigestão:
d yd t=alpha y-p2 y^2+x0 k
y(t)=yM y*(1-e^-t D)y*-yM e^-t D , onde D=raizalpha^2+2 p k x0, yM=alpha+Dp>0 e y*=alpha-Dp<0
Faça uma análise de limite da equação obtida em a.1 para mostrar que a produção de biogás está limitada ao valor yM, não sendo possível atingir valores superiores a este valor limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre biodigestores e quer mostrar que a produção de biogás não passa de um certo valor, chamado de . Isso envolve matemática, mais especificamente cálculo de limites. Vamos usar as fórmulas que você forneceu para analisar o comportamento de quando o tempo fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa analisar o limite de uma função. Basicamente, queremos saber qual valor a função se aproxima quando tende ao infinito. Se conseguirmos mostrar que chega perto de e não passa disso, teremos resolvido o problema.

Passo 3

Vamos olhar a fórmula de y(t) = yM y*(1 - e^-t D)y* - yM e^-t D :
Nosso objetivo é calcular o limite dessa expressão quando vai para o infinito.

Passo 4

Vamos analisar cada parte da fórmula:
  1. limt to infty y(t) = yM y*(1 - 0)y* - yM cdot 0 = yM y*y* = yM : Quando cresce, tende a zero porque a exponencial negativa decresce rapidamente.
  2. Substituindo isso na fórmula:

Passo 5

Então, vimos que conforme aumenta, se aproxima de . Isso significa que, independentemente de quanto tempo passe, a quantidade de biogás produzida não vai ultrapassar .

Resposta

A produção de biogás está limitada ao valor , ou seja, , e valores superiores a esse limite não são possíveis.

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