No desenvolvimento de um modelo matemático para um biodigestor no qual não ocorre inibição do crescimento microbiano, chegou-se à seguinte equação para descrever a taxa de variação temporal da quantidade de biogás produzida durante a biodigestão:
Faça uma análise de limite da equação obtida em a.1 para mostrar que a produção de biogás está limitada ao valor
, não sendo possível atingir valores superiores a este valor limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre biodigestores e quer mostrar que a produção de biogás não passa de um certo valor, chamado de
. Isso envolve matemática, mais especificamente cálculo de limites. Vamos usar as fórmulas que você forneceu para analisar o comportamento de
quando o tempo
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa analisar o limite de uma função. Basicamente, queremos saber qual valor a função
se aproxima quando
tende ao infinito. Se conseguirmos mostrar que
chega perto de
e não passa disso, teremos resolvido o problema.
Passo 3
Vamos olhar a fórmula de
:
Nosso objetivo é calcular o limite dessa expressão quando
vai para o infinito.
Passo 4
Vamos analisar cada parte da fórmula:
-
: Quando cresce, tende a zero porque a exponencial negativa decresce rapidamente. - Substituindo isso na fórmula:
Passo 5
Então, vimos que conforme
aumenta,
se aproxima de
. Isso significa que, independentemente de quanto tempo passe, a quantidade de biogás produzida não vai ultrapassar
.
Resposta
A produção de biogás está limitada ao valor
, ou seja,
, e valores superiores a esse limite não são possíveis.