Simplifique as expressões:
a) n!(n-1)!
b) (2 n+2)!(2 n+1)!
c) n!-(n+1)!n!
d) (n+2)!(n-1)!

Passo 1

O enunciado pede para simplificar quatro expressões que envolvem fatoriais: n!(n-1)!, (2n+2)!(2n+1)!, n!-(n+1)!n! e (n+2)!(n-1)!. O conteúdo principal é a propriedade de fatoriais, e vamos precisar usar as definições básicas para cancelar termos.

Passo 2

A propriedade fundamental de fatoriais que vamos usar diz que para qualquer inteiro k>=1: k! = k cdot (k-1)!. Isso nos permite escrever (k+1)! = (k+1)cdot k! e simplificar frações envolvendo fatoriais.

Passo 3

Para a expressão a) temos n!(n-1)!. Como n! = n cdot (n-1)!, podemos cancelar (n-1)!: n!(n-1)! = ncdot (n-1)!(n-1)! = n.

Passo 4

Na expressão b) (2n+2)!(2n+1)!, usamos (2n+2)! = (2n+2)cdot (2n+1)!. Assim cancelamos (2n+1)!: (2n+2)!(2n+1)! = (2n+2)cdot (2n+1)!(2n+1)! = 2n+2.

Passo 5

Para c) n! - (n+1)!n!, primeiro fatoramos n! no numerador: n! - (n+1)! = n! - (n+1)cdot n! = n!,(1 - (n+1)) = -n,n!. Dividindo por n! sobra -n.

Passo 6

Na expressão d) (n+2)!(n-1)!, expandimos (n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1)!. Cancelando (n-1)! ficamos com (n+2)(n+1)n.

Resposta

a) n; b) 2n+2; c) -n; d) n(n+1)(n+2)

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