O desenvolvimento da superficie lateral de um cilindro é um quadrado de lado a. Determine o volume do cilindro.

Passo 1

O enunciado diz que, ao “desenvolver” a superfície lateral de um cilindro, obtemos um quadrado de lado a. Isso significa que a superfície lateral é um retângulo de dimensões iguais a a por a. Para resolver, precisamos usar:
  1. A relação entre a circunferência da base e um dos lados do quadrado:
  2. A altura do cilindro é o outro lado do quadrado;
  3. A fórmula do volume de um cilindro, V=\pi r^{2}h.

Passo 2

Como um dos lados do quadrado corresponde à circunferência da base, temos
2\pi r = a
e, portanto, o raio é
r = \frac{a}{2\pi}.

Passo 3

O outro lado do quadrado é a altura do cilindro, logo
h = a.

Passo 4

Agora usamos a fórmula do volume:
V = \pi r^{2}h
Substituindo r e h:
V = \pi \left(\frac{a}{2\pi}\right)^{2} \! a = \pi \,\frac{a^{2}}{4\pi^{2}}\,a = \frac{a^{3}}{4\pi}.

Resposta

V = \frac{a^{3}}{4\pi}.

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