Resolva os seguintes problemas sobre taxas de variação relacionadas.
Um balão esférico está recebendo gás a uma taxa de
. Num dado instante, o volume atinge
. O quão rápido está mudando o raio do balão naquele instante?
i)
Um balão esférico está recebendo gás a uma taxa de
i)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um balão que está sendo inflado com gás a uma taxa constante de
. Em um determinado momento, o volume do balão é
. Queremos descobrir quão rápido o raio do balão está mudando nesse instante específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar o volume de uma esfera com seu raio. A fórmula do volume
de uma esfera em função do raio
é:
Passo 3
Como queremos descobrir como o raio muda com o tempo, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Passo 4
Aplicando a regra da derivada, temos:
Aqui, usamos a regra do poder e a cadeia de derivação, onde derivamos
em relação a
, obtendo
, e multiplicamos pela derivada de
em relação ao tempo,
.
Passo 5
Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é
. Substituindo isso na equação anterior:
Passo 6
Queremos isolar
para descobrir a taxa de variação do raio. Vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Passo 7
Agora, precisamos expressar o raio
em termos do volume
. Da fórmula do volume:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever
como
.
Passo 10
Continuando a simplificação:
Isso resulta em:
Passo 11
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A taxa de variação do raio do balão naquele instante é: