Resolva os seguintes problemas sobre taxas de variação relacionadas.
Um balão esférico está recebendo gás a uma taxa de alpha cm^3 / s. Num dado instante, o volume atinge v cm^3. O quão rápido está mudando o raio do balão naquele instante?
i) alpharaiz[3]36 pi v^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um balão que está sendo inflado com gás a uma taxa constante de alpha , cm^3/s. Em um determinado momento, o volume do balão é v , cm^3. Queremos descobrir quão rápido o raio do balão está mudando nesse instante específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o volume de uma esfera com seu raio. A fórmula do volume V de uma esfera em função do raio r é:
V = 43 pi r^3

Passo 3

Como queremos descobrir como o raio muda com o tempo, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t:
dVdt = ddt ( 43 pi r^3 )

Passo 4

Aplicando a regra da derivada, temos:
dVdt = 4 pi r^2 drdt
Aqui, usamos a regra do poder e a cadeia de derivação, onde derivamos r^3 em relação a r, obtendo 3r^2, e multiplicamos pela derivada de r em relação ao tempo, drdt.

Passo 5

Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é dVdt = alpha. Substituindo isso na equação anterior:
alpha = 4 pi r^2 drdt

Passo 6

Queremos isolar drdt para descobrir a taxa de variação do raio. Vamos dividir ambos os lados da equação por 4 pi r^2:
drdt = alpha4 pi r^2

Passo 7

Agora, precisamos expressar o raio r em termos do volume v. Da fórmula do volume:
v = 43 pi r^3
Resolvendo para r:
r = raiz[3]3v4pi

Passo 8

Substituindo r na expressão de drdt:
drdt = alpha4 pi ( raiz[3]3v4pi )^2

Passo 9

Simplificando a expressão:
drdt = alpha4 pi ( 3v4pi )^2/3
Podemos reescrever ( 3v4pi )^2/3 como 3^2/3 v^2/3(4pi)^2/3.

Passo 10

Continuando a simplificação:
drdt = alpha4 pi times (4pi)^2/33^2/3 v^2/3
Isso resulta em:
drdt = alpha cdot (4pi)^2/34 pi cdot 3^2/3 v^2/3

Passo 11

Simplificando os coeficientes:
drdt = alpharaiz[3]36 pi v^2

Resposta

A taxa de variação do raio do balão naquele instante é:
drdt = alpharaiz[3]36 pi v^2

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