Desigualdade de Clausius: considere dois reservatórios térmicos (
e
). (a) Calcule o rendimento de uma máquina de Carnot operando entre estes dois reservatórios. (b) Supondo que esta máquina retire 800 J da fonte quente, avalie a desigualdade de Clausius. © Considere agora uma máquina ordinária operando entre estes mesmos dois reservatórios, escolha um valor para o seu rendimento e avalie a desigualdade de Clausius supondo que ela retire também 800 J da fonte quente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois reservatórios térmicos, um quente com temperatura $ T_q = 400,\mathrm{K} $ e um frio com $ T_f = 200,\mathrm{K} $. A gente vai trabalhar com máquinas térmicas aqui, especificamente:
a) Calcular o rendimento de uma máquina de Carnot operando entre esses dois reservatórios.
b) Se a máquina de Carnot retirar 800 J da fonte quente, vamos avaliar a desigualdade de Clausius.
c) Agora, consideramos uma máquina ordinária que também retira 800 J da fonte quente, escolher um rendimento para ela e avaliar a desigualdade de Clausius.
b) Se a máquina de Carnot retirar 800 J da fonte quente, vamos avaliar a desigualdade de Clausius.
c) Agora, consideramos uma máquina ordinária que também retira 800 J da fonte quente, escolher um rendimento para ela e avaliar a desigualdade de Clausius.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma máquina de Carnot, o conceito de rendimento térmico e a desigualdade de Clausius, que está relacionada à segunda lei da termodinâmica.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Calcular o rendimento de uma máquina de Carnot entre $ T_q = 400,\mathrm{K} $ e $ T_f = 200,\mathrm{K} $.
O rendimento ($ \eta $) de uma máquina de Carnot é dado pela fórmula:
Essa fórmula nos diz a eficiência máxima que uma máquina térmica pode ter operando entre duas temperaturas, sem violar a segunda lei da termodinâmica.
Passo 3
Substituindo os valores dados na fórmula:
Então, o rendimento é de 50%.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): Supondo que essa máquina de Carnot retire 800 J da fonte quente, vamos avaliar a desigualdade de Clausius.
A desigualdade de Clausius em termos de entropia é:
Para uma máquina térmica operando ciclicamente, a variação total de entropia é zero no caso ideal, como na máquina de Carnot. Assim, a desigualdade de Clausius será igual a zero para a máquina de Carnot.
Passo 5
Mas vamos calcular isso para entender melhor. A quantidade de calor cedido ao reservatório frio ($ Q_f
Q_q $) pelo rendimento:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, calculamos as variações de entropia nos dois reservatórios:
Passo 7
A variação total de entropia é:
Isso confirma que a desigualdade de Clausius é satisfeita como igualdade para a máquina de Carnot.
Passo 8
Agora, vamos para a parte ©: Considerar uma máquina ordinária operando entre os mesmos dois reservatórios, escolher um valor para seu rendimento e avaliar a desigualdade de Clausius supondo que ela retire também 800 J da fonte quente.
Vamos supor que o rendimento dessa máquina ordinária seja $ \eta’ = 0,4 $ ou 40%.
Passo 9
Primeiro, calculamos o calor cedido ao reservatório frio:
Passo 10
Agora, calculamos as variações de entropia:
Passo 11
A variação total de entropia é:
Passo 12
Como $ \Delta S_{total}’ > 0 $, a desigualdade de Clausius está satisfeita, indicando que a máquina ordinária está de acordo com a segunda lei da termodinâmica, porém não é tão eficiente quanto a máquina de Carnot.
Resposta
a) O rendimento da máquina de Carnot é de 50%.
b) A desigualdade de Clausius é igual a 0 J/K para a máquina de Carnot.
c) Para uma máquina ordinária com rendimento de 40%, a desigualdade de Clausius é de 0,4 J/K.
b) A desigualdade de Clausius é igual a 0 J/K para a máquina de Carnot.
c) Para uma máquina ordinária com rendimento de 40%, a desigualdade de Clausius é de 0,4 J/K.