Uma máquina reversível, operando entre reservatórios térmicos nas temperaturas Tq e Tf, tem rendimento de 20 %. Operando como máquina térmica, fornece 100 J de trabalho em cada ciclo. Uma segunda máquina, operando entre os mesmos dois reservatórios, também efetua 100 J de trabalho em cada ciclo. Mostrar que, se o rendimento da segunda máquina for maior do que 20 % a operação conjunta das duas máquinas viola o enunciado de Clausius da segunda lei.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas máquinas térmicas que operam entre dois reservatórios de calor com temperaturas $ T_q $ (reservatório quente) e $ T_f $ (reservatório frio). A primeira máquina tem um rendimento de $ 20% $ e realiza $ 100 , J $ de trabalho por ciclo. A segunda máquina também realiza $ 100 , J $ de trabalho por ciclo, mas com um rendimento maior que $ 20% $. Nosso objetivo é mostrar que, se a segunda máquina tiver um rendimento maior que $ 20% $, a operação conjunta das duas máquinas viola o enunciado de Clausius da segunda lei da termodinâmica.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como rendimento térmico, a segunda lei da termodinâmica (especialmente o enunciado de Clausius) e como essas máquinas interagem com os reservatórios de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rendimento térmico ($ \eta $) de uma máquina térmica. O rendimento é dado por:
eta
onde:
  • $ W $ é o trabalho realizado pela máquina.
  • $ Q_H $ é o calor retirado do reservatório quente.
Para a primeira máquina, que tem um rendimento de $ 20% $ e realiza $ 100 , J $ de trabalho, podemos calcular o calor retirado do reservatório quente.

Passo 3

Calculando o calor retirado pelo primeiro reservatório quente ($ Q_{H1} $):
QH1
Isso significa que a primeira máquina retira $ 500 , J $ do reservatório quente para realizar $ 100 , J $ de trabalho.

Passo 4

Agora, vamos calcular o calor rejeitado para o reservatório frio pela primeira máquina ($ Q_{C1} $) usando a relação:
QC1
Então, a primeira máquina rejeita $ 400 , J $ para o reservatório frio.

Passo 5

Vamos analisar a segunda máquina. Ela também realiza $ 100 , J $ de trabalho por ciclo, mas com um rendimento maior que $ 20% $. Vamos chamar o rendimento dela de $ \eta_2 > 0.2 $.
Calculando o calor retirado pelo reservatório quente pela segunda máquina ($ Q_{H2} $):
100 , J
Como $ \eta_2 > 0.2 $, então $ Q_{H2} < 500 , J $.
Calculando o calor rejeitado para o reservatório frio pela segunda máquina ($ Q_{C2} $):
20%

Passo 6

Agora, vamos analisar a operação conjunta das duas máquinas. O total de calor retirado do reservatório quente é:
Qtotal quente = QH1 + QH2 = 500 , J + 100 , Jeta2
E o total de calor rejeitado para o reservatório frio é:
Qtotal frio = QC1 + QC2 = 400 , J + ( 100 , Jeta2 - 100 , J ) = 300 , J + 100 , Jeta2

Passo 7

Vamos observar o que acontece quando a segunda máquina tem $ \eta_2 > 0.2 $. Como vimos, $ Q_{H2} < 500 , J $, então:
eta2 > 0.2
Enquanto isso, o calor total rejeitado:
QH2 < 500 , J
Mas, como a eficiência da segunda máquina é maior que $ 20% $, $ \frac{100}{\eta_2} < 500 $, então:
Qtotal quente = 500 , J + 100 , Jeta2 < 500 , J + 500 , J = 1000 , J
Qtotal frio = 300 , J + 100 , Jeta2 < 300 , J + 500 , J = 800 , J

Passo 8

Segundo o enunciado de Clausius da segunda lei da termodinâmica, não é possível transferir calor do frio para o quente sem algum outro efeito. Se a operação conjunta das duas máquinas resultasse em menos calor sendo retirado do quente do que o calor rejeitado para o frio, isso implicaria um fluxo líquido de calor do frio para o quente, o que violaria o enunciado de Clausius.

Resposta

Portanto, se a segunda máquina tiver um rendimento maior que $ 20% $, a operação conjunta das duas máquinas resultaria em um fluxo líquido de calor do reservatório frio para o quente, violando o enunciado de Clausius da segunda lei da termodinâmica.

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