Uma máquina reversível, operando entre reservatórios térmicos nas temperaturas
e
, tem rendimento de
. Operando como máquina térmica, fornece 100 J de trabalho em cada ciclo. Uma segunda máquina, operando entre os mesmos dois reservatórios, também efetua 100 J de trabalho em cada ciclo. Mostrar que, se o rendimento da segunda máquina for maior do que
a operação conjunta das duas máquinas viola o enunciado de Clausius da segunda lei.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas máquinas térmicas que operam entre dois reservatórios de calor com temperaturas $ T_q $ (reservatório quente) e $ T_f $ (reservatório frio). A primeira máquina tem um rendimento de $ 20% $ e realiza $ 100 , J $ de trabalho por ciclo. A segunda máquina também realiza $ 100 , J $ de trabalho por ciclo, mas com um rendimento maior que $ 20% $. Nosso objetivo é mostrar que, se a segunda máquina tiver um rendimento maior que $ 20% $, a operação conjunta das duas máquinas viola o enunciado de Clausius da segunda lei da termodinâmica.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como rendimento térmico, a segunda lei da termodinâmica (especialmente o enunciado de Clausius) e como essas máquinas interagem com os reservatórios de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rendimento térmico ($ \eta $) de uma máquina térmica. O rendimento é dado por:
onde:
- $ W $ é o trabalho realizado pela máquina.
- $ Q_H $ é o calor retirado do reservatório quente.
Para a primeira máquina, que tem um rendimento de $ 20% $ e realiza $ 100 , J $ de trabalho, podemos calcular o calor retirado do reservatório quente.
Passo 3
Calculando o calor retirado pelo primeiro reservatório quente ($ Q_{H1} $):
Isso significa que a primeira máquina retira $ 500 , J $ do reservatório quente para realizar $ 100 , J $ de trabalho.
Passo 4
Agora, vamos calcular o calor rejeitado para o reservatório frio pela primeira máquina ($ Q_{C1} $) usando a relação:
Então, a primeira máquina rejeita $ 400 , J $ para o reservatório frio.
Passo 5
Vamos analisar a segunda máquina. Ela também realiza $ 100 , J $ de trabalho por ciclo, mas com um rendimento maior que $ 20% $. Vamos chamar o rendimento dela de $ \eta_2 > 0.2 $.
Calculando o calor retirado pelo reservatório quente pela segunda máquina ($ Q_{H2} $):
Como $ \eta_2 > 0.2 $, então $ Q_{H2} < 500 , J $.
Calculando o calor rejeitado para o reservatório frio pela segunda máquina ($ Q_{C2} $):
Passo 6
Agora, vamos analisar a operação conjunta das duas máquinas. O total de calor retirado do reservatório quente é:
E o total de calor rejeitado para o reservatório frio é:
Passo 7
Vamos observar o que acontece quando a segunda máquina tem $ \eta_2 > 0.2 $. Como vimos, $ Q_{H2} < 500 , J $, então:
Enquanto isso, o calor total rejeitado:
Mas, como a eficiência da segunda máquina é maior que $ 20% $, $ \frac{100}{\eta_2} < 500 $, então:
Passo 8
Segundo o enunciado de Clausius da segunda lei da termodinâmica, não é possível transferir calor do frio para o quente sem algum outro efeito. Se a operação conjunta das duas máquinas resultasse em menos calor sendo retirado do quente do que o calor rejeitado para o frio, isso implicaria um fluxo líquido de calor do frio para o quente, o que violaria o enunciado de Clausius.
Resposta
Portanto, se a segunda máquina tiver um rendimento maior que $ 20% $, a operação conjunta das duas máquinas resultaria em um fluxo líquido de calor do reservatório frio para o quente, violando o enunciado de Clausius da segunda lei da termodinâmica.