(Desigualdade entre as médias harmônica, geométrica e aritmética) Sejam a e b números reais positivos. Mostre que
21a+1b <= raiza b <= a+b2
e que a igualdade só é válida se a=b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para dois números reais positivos a,b, vale a desigualdade entre as médias harmônica, geométrica e aritmética:
2tfrac1a+tfrac1b<=raizab<=a+b2
Vamos usar a desigualdade AM–GM (média aritmética ≥ média geométrica) aplicada tanto em a,b quanto em 1/a,1/b.

Passo 2

Vamos provar primeiro que raizab<=tfraca+b2.
Pela desigualdade AM–GM, para a,b>0 temos
a+b2>=raizab
A igualdade ocorre se, e somente se, a=b.

Passo 3

Agora provamos que tfrac2tfrac1a+tfrac1b<=raizab.
Aplique AM–GM a 1/a e 1/b:
tfrac1a+tfrac1b2>=raiz1ab;Longrightarrow;tfrac1a+tfrac1b>=2raizab
Como a função xmapsto1/x é decrescente para x>0, ao inverter essa desigualdade obtemos
2tfrac1a+tfrac1b<=raizab
A igualdade ocorre se, e somente se, 1/a=1/b, isto é, a=b.

Passo 4

Como em ambos os casos a única situação de igualdade é a=b, concluímos a cadeia
2tfrac1a+tfrac1b<=raizab<=a+b2
e que a igualdade só vale quando a=b.

Resposta

2tfrac1a+tfrac1b<=raizab<=a+b2, com igualdade se, e somente se, a=b.

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