(Desigualdade entre as médias harmônica, geométrica
aritmética) Sejam a e b números reais positivos. Mostre que
e que a igualdade só é válida se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para dois números reais positivos
, vale a desigualdade entre as médias harmônica, geométrica e aritmética:
Vamos usar a desigualdade AM–GM (média aritmética ≥ média geométrica) aplicada tanto em
Passo 2
Vamos provar primeiro que
.
Pela desigualdade AM–GM, para temos
Pela desigualdade AM–GM, para
A igualdade ocorre se, e somente se,
Passo 3
Agora provamos que
.
Aplique AM–GM a e
:
Aplique AM–GM a
Como a função
A igualdade ocorre se, e somente se,
, isto é,
.
Passo 4
Como em ambos os casos a única situação de igualdade é
, concluímos a cadeia
e que a igualdade só vale quando