Determine as equações paramétricas da curva formada pela interseção das superfícies
e
:
e
Passo 1
Primeiro, vamos encontrar a interseção entre as superfícies
e
. O conteúdo é intersecção de superfícies, e para resolver precisamos igualar as expressões de
e lidar com a raiz quadrada.
Passo 2
Igualando
, notamos que precisamos de
para garantir
. Elevando ao quadrado, obtemos
[ x^2 + y^2 = (1 + y)^2 ]
que se simplifica para
[ x^2 = 1 + 2y ]
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[ y = \frac{x^2 - 1}{2}. ]
Passo 3
Agora substituímos
em
para obter
[ z = 1 + \frac{x^2 - 1}{2} = \frac{x^2 + 1}{2}. ]
Passo 4
Para parametrizar a curva, basta introduzir
e usar as expressões de
e
em função de
.
Resposta
[ x(t) = t,\quad y(t) = \frac{t^2 - 1}{2},\quad z(t) = \frac{t^2 + 1}{2},\quad t \in \mathbb{R}. ]