Resolva a equação diferencial
com as condições iniciais
.
Passo 1
E aí, vamos resolver a EDO tipo Euler–Cauchy:
O conteúdo é equações de Cauchy de segunda ordem, vamos precisar usar a forma de potência
para achar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais
e
.
Passo 2
A gente supõe uma solução do tipo
. Daí a derivada primeira é
e a segunda derivada é
. Substituindo na EDO:
Passo 3
Agrupando fatores
, vem a equação característica:
Passo 4
Que simplifica para
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara em
, temos discriminante
, logo
Passo 6
Assim a solução geral é
Passo 7
Agora vamos impor as condições iniciais. Primeiro,
dá
Passo 8
Segundo, calculando
e avaliando em
com
, obtemos
Passo 9
Resolvendo o sistema
vem
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é
.