Resolva a equação diferencial
x^2 d^2 yd x^2-2 x d yd x-10 y=0
com as condições iniciais ly(1)=5 y^prime(1)=4.

Passo 1

E aí, vamos resolver a EDO tipo Euler–Cauchy: x^2y''-2xy'-10y=0 O conteúdo é equações de Cauchy de segunda ordem, vamos precisar usar a forma de potência y=x^m para achar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais y(1)=5 e y'(1)=4.

Passo 2

A gente supõe uma solução do tipo y=x^m. Daí a derivada primeira é y'=m x^m-1 e a segunda derivada é y''=m(m-1)x^m-2. Substituindo na EDO:
x^2l(m(m-1)x^m-2r)-2xl(m x^m-1r)-10x^m=0

Passo 3

Agrupando fatores x^m, vem a equação característica:
m(m-1)-2m-10=0

Passo 4

Que simplifica para
m^2-3m-10=0

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara em m^2-3m-10=0, temos discriminante De, logo
m=3pm72implies m1=5, m2=-2

Passo 6

Assim a solução geral é
y=C1x^5+C2x^-2

Passo 7

Agora vamos impor as condições iniciais. Primeiro, y(1)=5
C1+C2=5

Passo 8

Segundo, calculando y'=5C1x^4-2C2x^-3 e avaliando em x=1 com y'(1)=4, obtemos
5C1-2C2=4

Passo 9

Resolvendo o sistema
C1+C2=55C1-2C2=4
vem
C1=2, C2=3

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é y(x)=2x^5+3x^-2.

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