A desigualdade
significa que a diferença
é um número positivo. Usando o fato de que o produto de dois números positivos é positivo, prove as seguintes afirmações:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre desigualdades e produtos de números. O enunciado nos diz que $ x < y $ significa que $ y - x $ é positivo. Queremos provar que se $ x < y $ e $ a < 0 $, então $ a x > a y $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de multiplicação de desigualdades e propriedades de números positivos e negativos.
Passo 2
Primeiro, sabemos que $ x < y $. Isso significa que $ y - x > 0 $, ou seja, a diferença entre $ y $ e $ x $ é um número positivo.
Passo 3
Agora, temos que $ a < 0 $, o que significa que $ a $ é um número negativo.
Passo 4
Quando multiplicamos ambos os lados da desigualdade $ x < y $ por um número negativo, a direção da desigualdade inverte. Isso acontece porque multiplicar por negativo reflete o número no eixo dos números, trocando o sentido maior para menor e vice-versa.
Passo 5
Portanto, multiplicando ambos os lados de $ x < y $ por $ a $ (que é negativo):
Resposta
Logo, se $ x < y $ e $ a < 0 $, então $ a x > a y $.