Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificadas. Esboce a região e o sólido obtido.
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pelas curvas $ y = 2x - x^2 $ e $ y = x $ em torno da reta $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação $ 2x - x^2 = x $. Subtraindo $ x $ de ambos os lados, temos:
Portanto, as interseções ocorrem em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos decidir qual método usar. Como estamos girando em torno de uma reta vertical ($ x = 2 $), o método das cascas cilíndricas é mais conveniente. Esse método envolve integrar a circunferência das “cascas” formadas pela região ao redor da reta.
Passo 4
A fórmula do método das cascas é:
Onde:
- $ r $ é a distância da casca à reta de rotação ($ x = 2 $).
- $ h $ é a altura da casca, que é a diferença entre as funções superiores e inferiores.
Passo 5
Identificamos $ a = 0 $ e $ b = 1 $ pelas interseções. A distância $ r $ de um ponto $ x $ à reta $ x = 2 $ é $ 2 - x $. A altura $ h $ é $ (2x - x^2) - x = x - x^2 $.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 8
Substituindo os resultados na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido obtido é $ \frac{\pi}{2} $ unidades cúbicas.