Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificadas. Esboce a região e o sólido obtido.
y=2 x-x^2, y=x em torno de x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pelas curvas $ y = 2x - x^2 $ e $ y = x $ em torno da reta $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação $ 2x - x^2 = x $. Subtraindo $ x $ de ambos os lados, temos:
2x - x^2 = x
Portanto, as interseções ocorrem em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos decidir qual método usar. Como estamos girando em torno de uma reta vertical ($ x = 2 $), o método das cascas cilíndricas é mais conveniente. Esse método envolve integrar a circunferência das “cascas” formadas pela região ao redor da reta.

Passo 4

A fórmula do método das cascas é:
V = 2pi integrala^b (r)(h) , dx
Onde:
  • $ r $ é a distância da casca à reta de rotação ($ x = 2 $).
  • $ h $ é a altura da casca, que é a diferença entre as funções superiores e inferiores.

Passo 5

Identificamos $ a = 0 $ e $ b = 1 $ pelas interseções. A distância $ r $ de um ponto $ x $ à reta $ x = 2 $ é $ 2 - x $. A altura $ h $ é $ (2x - x^2) - x = x - x^2 $.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
V = 2pi integral0^1 (2 - x)(x - x^2) , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(2 - x)(x - x^2) = 2x - 2x^2 - x^2 + x^3 = 2x - 3x^2 + x^3

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
V = 2pi integral0^1 (2x - 3x^2 + x^3) , dx = 2pi [ integral0^1 2x , dx - integral0^1 3x^2 , dx + integral0^1 x^3 , dx ]
Calculando cada integral:
integral0^1 2x , dx = x^2 |0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 3x^2 , dx = x^3 |0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 x^3 , dx = x^44 |0^1 = 14 - 0 = 14

Passo 8

Substituindo os resultados na expressão do volume:
V = 2pi ( 1 - 1 + 14 ) = 2pi ( 14 ) = pi2

Resposta

O volume do sólido obtido é $ \frac{\pi}{2} $ unidades cúbicas.

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