Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a)
,
(b)
,
(c)
,
(d)
,
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá vetores
e pede para verificar, uma a uma, se as igualdades envolvendo o produto vetorial são sempre verdadeiras ou nem sempre verdadeiras. Para isso, vamos usar as propriedades básicas do produto vetorial: bilinearidade, anticomutatividade, não‐associatividade e ortogonalidade ao fatores.
Passo 2
Analisando (a)
.
Pelo fato de o produto vetorial ser bilinear, temos
Pelo fato de o produto vetorial ser bilinear, temos
e de modo análogo
Logo, (a) é sempre verdadeira.
Passo 3
Analisando (b)
.
Usamos bilinearidade e a propriedade :
Usamos bilinearidade e a propriedade
Portanto, (b) é sempre verdadeira.
Passo 4
Analisando (c)
.
Sabemos que o produto vetorial é antissimétrico, ou seja
Sabemos que o produto vetorial é antissimétrico, ou seja
Isso só coincide com
quando
. Em geral, porém,
.
Logo, (c) é nem sempre verdadeira.
Logo, (c) é nem sempre verdadeira.
Passo 5
Analisando (d)
.
O produto vetorial não é associativo. Para ver um contraexemplo concreto, tome
O produto vetorial não é associativo. Para ver um contraexemplo concreto, tome
Calcula-se
enquanto
Como
, temos que (d) é nem sempre verdadeira.
Passo 6
Analisando (e)
.
Por definição, é ortogonal a ambos
e
. Assim, o produto escalar de
com
vale sempre zero:
Por definição,
Logo, (e) é sempre verdadeira.
Resposta
Sempre verdadeiras:
.
Nem sempre verdadeiras: .
Nem sempre verdadeiras: