Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a) u times 0=0 times u=0,
(b) u times(-u)=0,
(c) u times v=v times u,
(d) (u times v) times w=u times(v times w),
(e) lang<= u times v, v>=0.

Passo 1

O enunciado nos dá vetores u,v,winR^3 e pede para verificar, uma a uma, se as igualdades envolvendo o produto vetorial são sempre verdadeiras ou nem sempre verdadeiras. Para isso, vamos usar as propriedades básicas do produto vetorial: bilinearidade, anticomutatividade, não‐associatividade e ortogonalidade ao fatores.

Passo 2

Analisando (a) ;utimes0=0times u=0.
Pelo fato de o produto vetorial ser bilinear, temos
utimes0=utimes(0cdot u)=0,(utimes u)=0,
e de modo análogo
0times u=(0cdot u)times u=0,(utimes u)=0
Logo, (a) é sempre verdadeira.

Passo 3

Analisando (b) ;utimes(-u)=0.
Usamos bilinearidade e a propriedade utimes u=0:
utimes(-u)= -l(utimes ur)=-0=0
Portanto, (b) é sempre verdadeira.

Passo 4

Analisando (c) ;utimes v=vtimes u.
Sabemos que o produto vetorial é antissimétrico, ou seja
utimes v= -,(vtimes u)
Isso só coincide com vtimes u quando utimes v=0. Em geral, porém, utimes vneq vtimes u.
Logo, (c) é nem sempre verdadeira.

Passo 5

Analisando (d) ;(utimes v)times w = utimes(vtimes w).
O produto vetorial não é associativo. Para ver um contraexemplo concreto, tome
u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0)
Calcula-se
(utimes v)times w = (0,0,1)times(1,1,0)=(-1,1,0),
enquanto
utimes(vtimes w)=(1,0,0)timesl((0,1,0)times(1,1,0)r) =(1,0,0)times(0,0,-1)=(0,1,0)
Como (-1,1,0)neq(0,1,0), temos que (d) é nem sempre verdadeira.

Passo 6

Analisando (e) ;lang<= utimes v,,vrang<==0.
Por definição, utimes v é ortogonal a ambos u e v. Assim, o produto escalar de utimes v com v vale sempre zero:
lang<= utimes v,,vrang<==0
Logo, (e) é sempre verdadeira.

Resposta

Sempre verdadeiras: (a),,(b),,(e).
Nem sempre verdadeiras: (c),,(d).

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