Sejam A B=(1,4,3), A C=(1,2,3) e A D=(1,4,9).
Calcule o volume do paralelepipedo determinado por esses vetores;

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3, a saber
AB=(1,4,3), AC=(1,2,3) e AD=(1,4,9).
Queremos o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores, e sabemos que esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto
V = l|ABcdotl(ACtimesADr)r|
que coincide com o valor absoluto do determinante formado pelas componentes dos três vetores.

Passo 2

Vamos montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são os vetores AB, AC e AD. Usando-as como linhas, temos:
M = 1 & 4 & 3 1 & 2 & 3 1 & 4 & 9
O volume será V = |det(M)|.

Passo 3

Calculemos o determinante de M por regra de Sarrus ou expansão:
det(M) = 1,(2cdot9 - 3cdot4) -4,(1cdot9 - 3cdot1) +3,(1cdot4 - 2cdot1)
Agora simplificando cada termo:
1,(18 - 12) ;-; 4,(9 - 3) ;+; 3,(4 - 2) = 1cdot6 ;-; 4cdot6 ;+; 3cdot2 = 6 - 24 + 6 = -12

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse determinante:
V = l|det(M)r| = |-12| = 12

Resposta

O volume do paralelepípedo é 12.

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