Em t=0, o deslocamento x(0) do bloco em um oscilador linear é -8,50 cm. (Leia x(0) como x no tempo 0 .) A velocidade do bloco v(0) é então - 0,920 m / s, e sua aceleração a(0) vale +47,0 m / s^2. Quanto vale a constante de fase phi e a amplitude xm?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de oscilador linear que pede pra encontrar a constante de fase phi e a amplitude xm. A gente sabe que no tempo t=0, o deslocamento x(0) é -8,50, cm, a velocidade v(0) é -0,920, m/s e a aceleração a(0) é +47,0, m/s^2. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento harmônico simples, que envolvem amplitude, frequência e fase.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações do movimento harmônico simples:
x(t) = xm cos(omega t + phi)
v(t) = -xm omega sin(omega t + phi)
a(t) = -xm omega^2 cos(omega t + phi)
Aqui, xm é a amplitude, omega é a frequência angular, e phi é a fase inicial que queremos encontrar.

Passo 3

No nosso caso, no tempo t=0, as equações ficam:
x(0) = xm cos(phi)
v(0) = -xm omega sin(phi)
a(0) = -xm omega^2 cos(phi)
Sabemos os valores de x(0), v(0) e a(0), então podemos usar essas equações para encontrar xm e phi.

Passo 4

Primeiro, vamos determinar a frequência angular omega. Sabemos que a aceleração em t=0 é:
a(0) = -xm omega^2 cos(phi) = +47,0, m/s^2
E o deslocamento é:
x(0) = xm cos(phi) = -8,50, cm = -0,0850, m
Vamos dividir a equação da aceleração pela equação do deslocamento:
a(0)x(0) = -xm omega^2 cos(phi)xm cos(phi) = -omega^2 = 47,0-0,0850
omega^2 = 47,00,0850 approx 552,94, rad^2/s^2
Então,
omega = raiz552,94 approx 23,51, rad/s

Passo 5

Agora que temos omega, vamos usar a equação da velocidade:
v(0) = -xm omega sin(phi) = -0,920, m/s
Sabemos que xm cos(phi) = -0,0850, m, então podemos encontrar sin(phi):
sin(phi) = v(0)-xm omega = -0,920-xm cdot 23,51
Primeiro, vamos encontrar xm usando a relação:
xm^2 = x(0)^2 + (v(0)omega)^2
Substituindo os valores:
xm^2 = (-0,0850)^2 + (-0,92023,51)^2
xm^2 = 0,007225 + ( -0,0391 )^2 approx 0,007225 + 0,001529 = 0,008754
xm = raiz0,008754 approx 0,0935, m = 9,35, cm

Passo 6

Agora que sabemos xm, podemos encontrar sin(phi):
sin(phi) = -0,920-0,0935 cdot 23,51 approx 0,9202,199 approx 0,418
E já temos $\cos(\phi) = \frac{x(0)}{\mathrm{x}_{m}} = \frac{-0,0850}{0,0935} \approx -0,909
Para encontrar cos(phi) = x(0)xm = -0,08500,0935 approx -0,909 Para encontrar , usamos a função arco-tangente considerando os sinais de seno e cosseno para o quadrante correto:
, usamos a função arco-tan>=nte considerando os sinais de seno e cosseno para o quadrante correto:
Mas como phi = arctan( sin(phi)cos(phi) ) = arctan( 0,418-0,909 ) approx arctan(-0,46) approx -24,8^circ é negativo e Mas como é positivo, é negativo e está no segundo quadrante:
é positivo,

Resposta

A constante de fase phi é aproximadamente 2,71 radianos e a amplitude xm é 9,35, cm.

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