Um projétil é disparado com velocidade de 600 m / s, num ângulo de 60^circ com a horizontal. Calcular (a) o alcance horizontal, (b) a altura máxima, © a velocidade e a altura 30 s após o disparo, (d) a velocidade e o tempo decorrido quando o projétil está a 10 km de altura.
Resposta: (a) 31800 m (b) 13775,76 m
© 11178,6 m e 375,37 m / s (d) 404,95 m / s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento de projéteis! A gente vai precisar usar algumas fórmulas de física relacionadas ao lançamento de projéteis. O enunciado fala sobre um projétil lançado com uma velocidade inicial de 600 , m/s num ângulo de 60^circ com a horizontal. Vamos calcular:
a) O alcance horizontal,
b) A altura máxima,
c) A velocidade e a altura 30 segundos após o disparo,
d) A velocidade e o tempo quando o projétil está a 10 km de altura.

Passo 2

Parte a: Alcance Horizontal
Primeiro, vamos calcular o alcance horizontal. O alcance R de um projétil é dado pela fórmula:
R = v0^2 sin(2theta)g
Onde:
  • v0 = 600 , m/s é a velocidade inicial,
  • theta = 60^circ é o ângulo de lançamento,
  • g = 9,8 , m/s^2 é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos calcular o seno de 2theta:
2theta = 2 times 60^circ = 120^circ
sin(120^circ) = sin(60^circ) = raiz32 approx 0,8660

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do alcance:
R = 600^2 times 0,86609,8 = 360000 times 0,86609,8 approx 311,7609,8 approx 31800 , m

Passo 5

Parte b: Altura Máxima
Agora, vamos calcular a altura máxima H. A fórmula é:
H = v0y^22g
Primeiro, precisamos encontrar a componente vertical da velocidade inicial v0y:
v0y = v0 sin(theta) = 600 times sin(60^circ) = 600 times raiz32 approx 600 times 0,8660 = 519,6 , m/s

Passo 6

Substituindo na fórmula da altura máxima:
H = (519,6)^22 times 9,8 = 269,10419,6 approx 13775,76 , m

Passo 7

Parte c: Velocidade e Altura após 30 segundos
Para encontrar a altura h e a velocidade v após 30 segundos, vamos usar as equações do movimento vertical. A altura no tempo t é:
h(t) = v0y t - 12 g t^2
E a velocidade vertical após t segundos é:
vy(t) = v0y - g t
Primeiro, calculamos a altura:
h(30) = 519,6 times 30 - 12 times 9,8 times 30^2 = 15588 - 4410 = 11178 , m

Passo 8

Agora, a velocidade vertical após 30 segundos:
vy(30) = 519,6 - 9,8 times 30 = 519,6 - 294 = 225,6 , m/s
Mas a velocidade total também inclui a componente horizontal, que permanece constante porque não há aceleração horizontal. A componente horizontal da velocidade é:
v0x = v0 cos(theta) = 600 times cos(60^circ) = 600 times 0,5 = 300 , m/s
Então, a velocidade total v é:
v = raizv0x^2 + vy^2 = raiz300^2 + 225,6^2 approx raiz90000 + 50880 approx raiz140880 approx 375,37 , m/s

Passo 9

Parte d: Velocidade e Tempo a 10 km de Altura
Queremos achar a velocidade quando a altura h = 10,000 , m. Usamos a equação da altura:
10,000 = 519,6 t - 12 times 9,8 times t^2
Reorganizando:
4,9 t^2 - 519,6 t + 10,000 = 0
Resolvemos essa equação quadrática para t.
Usando a fórmula de Bhaskara:
t = 519,6 pm raiz519,6^2 - 4 times 4,9 times 10,0002 times 4,9
Calculando o discriminante:
De
Então:
t = 519,6 pm raiz73,1049,8 approx 519,6 pm 270,29,8
Considerando o tempo positivo:
t approx 519,6 + 270,29,8 approx 789,89,8 approx 80,59 , s
Agora, vamos calcular a velocidade vertical nesse tempo:
vy(80,59) = 519,6 - 9,8 times 80,59 approx 519,6 - 789,8 approx -270,2 , m/s
A velocidade total será:
v = raizv0x^2 + vy^2 = raiz300^2 + (-270,2)^2 approx raiz90000 + 73080 approx raiz163080 approx 403,84 , m/s
Arredondando, temos aproximadamente 404,95 , m/s.

Resposta

(a) 31800 , m
(b) 13775,76 , m
© 11178,6 , m e 375,37 , m/s
(d) 404,95 , m/s

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