Um projétil é disparado com velocidade de
, num ângulo de
com a horizontal. Calcular (a) o alcance horizontal, (b) a altura máxima, © a velocidade e a altura
após o disparo, (d) a velocidade e o tempo decorrido quando o projétil está a 10 km de altura.
Resposta: (a) 31800 m (b) 13775,76 m
©
e
(d)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento de projéteis! A gente vai precisar usar algumas fórmulas de física relacionadas ao lançamento de projéteis. O enunciado fala sobre um projétil lançado com uma velocidade inicial de
num ângulo de
com a horizontal. Vamos calcular:
a) O alcance horizontal,
b) A altura máxima,
c) A velocidade e a altura 30 segundos após o disparo,
d) A velocidade e o tempo quando o projétil está a 10 km de altura.
Passo 2
Parte a: Alcance Horizontal
Primeiro, vamos calcular o alcance horizontal. O alcance
de um projétil é dado pela fórmula:
Onde:
-
é a velocidade inicial, -
é o ângulo de lançamento, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Vamos calcular o seno de
:
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula do alcance:
Passo 5
Parte b: Altura Máxima
Agora, vamos calcular a altura máxima
. A fórmula é:
Primeiro, precisamos encontrar a componente vertical da velocidade inicial
:
Passo 6
Substituindo na fórmula da altura máxima:
Passo 7
Parte c: Velocidade e Altura após 30 segundos
Para encontrar a altura
e a velocidade
após 30 segundos, vamos usar as equações do movimento vertical. A altura no tempo
é:
E a velocidade vertical após
segundos é:
Primeiro, calculamos a altura:
Passo 8
Agora, a velocidade vertical após 30 segundos:
Mas a velocidade total também inclui a componente horizontal, que permanece constante porque não há aceleração horizontal. A componente horizontal da velocidade é:
Então, a velocidade total
é:
Passo 9
Parte d: Velocidade e Tempo a 10 km de Altura
Queremos achar a velocidade quando a altura
. Usamos a equação da altura:
Reorganizando:
Resolvemos essa equação quadrática para
.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Considerando o tempo positivo:
Agora, vamos calcular a velocidade vertical nesse tempo:
A velocidade total será:
Arredondando, temos aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b)
©
e
(d)