Em t=0, o deslocamento x(0) do bloco de um oscilador linear como o da é -8,50 \mathrm{~cm}. [Leia x(0) como " x no instante t=0 \mathrm{~s} "). A velocidade v(0) do bloco nesse instante é -0,920 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a aceleração a ( 0 ) é +47,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Determine a frequência angular a do sistema.
(b) Determine a constante de fase \varphi e a amplitude x, das oscilações.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmônico simples em que, no instante t=0, temos \,x(0)=-8,50\text{ cm}=-0,0850\text{ m}, \,v(0)=-0,920\text{ m/s} e \,a(0)=+47,0\text{ m/s}^2.
Para um movimento harmônico simples:
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),\quad v(t)=-A\,\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr),\quad a(t)=-A\,\omega^2\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Vamos usar essas expressões em t=0 para achar (a) \omega e depois (b) \varphi e A.

Passo 2

Em t=0 a aceleração vale
a(0)=-A\,\omega^2\cos(\varphi)=-\omega^2\,x(0).
Logo, isolamos \omega^2 via
\omega^2=-\frac{a(0)}{x(0)}.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
\omega^2=-\frac{+47{,}0}{-0{,}0850}=552{,}94\;(\text{rad/s})^2,
portanto
\omega=\sqrt{552{,}94}=23{,}5\;\text{rad/s}.

Passo 4

Para achar \varphi, usamos as condições em t=0:
x(0)=A\cos\varphi,\quad v(0)=-A\,\omega\sin\varphi.
Dividindo a segunda pela primeira, obtemos
\tan\varphi =\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} =\frac{-v(0)/(A\omega)}{x(0)/A} =-\frac{v(0)}{\omega\,x(0)}.

Passo 5

Calculando o quociente:
-\frac{v(0)}{\omega\,x(0)} =-\frac{-0{,}920}{23{,}5\times(-0{,}0850)} =-\frac{-0{,}920}{-1{,}998} =-0{,}4605.
Assim \tan\varphi=-0{,}4605. Como \cos\varphi=x(0)/A<0 e \sin\varphi=-v(0)/(A\omega)>0, \varphi está no segundo quadrante. Logo
\varphi=\pi-\arctan\bigl|{-0{,}4605}\bigr| =\pi-0{,}4326 =2{,}71\;\text{rad}.

Passo 6

Finalmente, a amplitude A pode ser obtida de
A=\frac{x(0)}{\cos\varphi} =\frac{-0{,}0850}{\cos(2{,}71)} \approx0{,}0936\;\text{m}.
Em centímetros, A\approx9{,}36\text{ cm}.

Resposta

(a) \omega=23{,}5\;\text{rad/s}.
(b) \varphi=2{,}71\;\text{rad},\quad A=0{,}0936\;\text{m}.

Exercícios relacionados