Exercício 5.28 Determine as seguintes integrais \iiint_{D} f(x, y, z) d v e desenhe os domínios de integraçāo em cada caso.
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}, D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4,-4 \leq z \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{D}f(x,y,z)\,dv
onde
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}, \quad D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0\le x^{2}+y^{2}\le4,\,-4\le z\le4\}.
O conteúdo é aplicação de coordenadas cilíndricas para integrar sobre um cilindro reto.

Passo 2

Identificamos que D é o cilindro de raio 2 em torno do eixo z e altura 8, ou seja,
r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad -4\le z\le4.
Geometricamente, é um cilindro circular reto centrado em z.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas usamos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z, \quad dv = r\,dr\,d\theta\,dz.
Nesse sistema x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo f(r,\theta,z)=r^{2}.

Passo 4

A integral torna-se
\iiint_{D}f\,dv =\int_{z=-4}^{4}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} \bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta\,dz =\int_{-4}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 5

Calculamos em etapas:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr =\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{16}{4}=4,
\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi, \quad \int_{-4}^{4}dz =8.
Multiplicando os resultados,
4\times 2\pi\times 8 = 64\pi.

Resposta

\iiint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dv = 64\pi.
O domínio D é o cilindro de raio 2 e altura 8 centrado no eixo z.

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