Exercício 5.28 Determine as seguintes integrais \iiint_{D} f(x, y, z) d v e desenhe os domínios de integraçāo em cada caso.
f(x, y, z)=(x+y) z, D=-1 \leq y \leq 1, y-1 \leq x \leq 1-y, 0 \leq z \leq 3

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\iiint_{D}(x+y)z\,dV
sendo
D=\{(x,y,z)\mid -1\le y\le1,\;y-1\le x\le1-y,\;0\le z\le3\}.
O conteúdo aqui é integração tripla e uso do Teorema de Fubini.

Passo 2

Escrevendo a integral em ordem dz\,dx\,dy, temos
\iiint_{D}(x+y)z\,dV =\int_{y=-1}^{1}\!\int_{x=y-1}^{1-y}\!\int_{z=0}^{3}(x+y)z\,dz\,dx\,dy.
Como (x+y) independe de z, podemos separar a parte em z.

Passo 3

Calcule
\int_{0}^{3}z\,dz =\Bigl[\tfrac{z^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{3} =\tfrac{9}{2}.
Logo
\iiint_{D}(x+y)z\,dV =\frac{9}{2}\int_{y=-1}^{1}\!\int_{x=y-1}^{1-y}(x+y)\,dx\,dy.

Passo 4

Divida a integral dupla em
\int_{-1}^{1}\!\int_{y-1}^{1-y}x\,dx\,dy \;+\; \int_{-1}^{1}\!\int_{y-1}^{1-y}y\,dx\,dy.
Para cada y, o intervalo de x vai de y-1 a 1-y, que é simétrico em torno de zero, logo
\int_{y-1}^{1-y}x\,dx=0
e a primeira parcela anula-se.

Passo 5

A segunda parcela é
\int_{-1}^{1}y\bigl[(1-y)-(y-1)\bigr]\,dy =\int_{-1}^{1}y(2-2y)\,dy =2\int_{-1}^{1}(y-y^{2})\,dy.

Passo 6

Compute
2\int_{-1}^{1}(y-y^{2})\,dy =2\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}-\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =2\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}-\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}\bigr)\Bigr) =-\tfrac{4}{3}.

Passo 7

Portanto
\iiint_{D}(x+y)z\,dV =\frac{9}{2}\cdot\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr) =-6.

Passo 8

O domínio D é um prisma reto com base no plano xy igual ao triângulo de vértices (-2,-1), (2,-1) e (0,1) dado por
-1\le y\le1,\quad y-1\le x\le1-y,
e com altura de z=0 até z=3.

Resposta

-6

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