Exercício 5.32 Determine a segunte integral \iiint_{D} f(r, \theta, \varphi) d r d \varphi d \theta, onde f(r, \theta, \varphi)=r^{2} \operatorname{sen}(\theta) e D é:
D=0 \leq \theta \leq \theta_{0}, 0 \leq r \leq R, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla de
f(r,\theta,\varphi)=r^{2}\sin\theta
no domínio em coordenadas esféricas
0\le r\le R,\quad 0\le \theta\le \theta_{0},\quad 0\le \varphi\le 2\pi.
Como o integrando já é o jacobiano r^{2}\sin\theta, podemos separar as variáveis e calcular cada integral à parte.

Passo 2

Escrevemos
\iiint_{D}r^{2}\sin\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{\theta_{0}}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^{2}\sin\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{R}r^{2}dr\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{\theta_{0}}\sin\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 3

Calculamos as integrais em r e em \varphi:
\int_{0}^{R}r^{2}dr=\frac{R^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.

Passo 4

Calculamos a integral em \theta:
\int_{0}^{\theta_{0}}\sin\theta\,d\theta =\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\theta_{0}} =1-\cos\theta_{0}.

Resposta

\iiint_{D}r^{2}\sin\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta =\frac{R^{3}}{3}\,\cdot 2\pi\,\cdot(1-\cos\theta_{0}) =\frac{2\pi R^{3}}{3}\,\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr).

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