O deslocamento de uma corda elástica semi-infinita é determinado por:
Determine
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação da onda unidimensional semi-infinita
u_{xx} = u_{tt}
com condições de contorno
u(0,t)=0, u(x,t) → 0 quando x→∞
e condições iniciais
u(x,0)=x e^{-x}, u_t(x,0)=0.
Isso cai no conteúdo de solução da equação da onda pelo método de d’Alembert usando extensão ímpar do domínio. A gente vai precisar conhecer a fórmula de d’Alembert e o truque da extensão ímpar para satisfazer u(0,t)=0.
u_{xx} = u_{tt}
com condições de contorno
u(0,t)=0, u(x,t) → 0 quando x→∞
e condições iniciais
u(x,0)=x e^{-x}, u_t(x,0)=0.
Isso cai no conteúdo de solução da equação da onda pelo método de d’Alembert usando extensão ímpar do domínio. A gente vai precisar conhecer a fórmula de d’Alembert e o truque da extensão ímpar para satisfazer u(0,t)=0.
Passo 2
Para usar o método de d’Alembert num domínio semi-infinito com u(0,t)=0, a gente estende a condição inicial de deslocamento f(x)=x e^{-x} de modo ímpar ao eixo inteiro. Definimos
Isso garante F(−X)=−F(X) e satisfaz a fronteira u(0,t)=0.
Passo 3
Como a velocidade inicial é zero, g(x)=0, a solução de d’Alembert no eixo inteiro é
No domínio x≥0, u(x,t)=U(x,t).
Passo 4
Agora substituímos F(X)=X e^{-|X|}. Para X=x+t≥0 vale F(x+t)=(x+t)e^{-(x+t)}; para X=x−t pode ser ≥0 ou <0, então usamos F(x−t)=(x−t)e^{-|x−t|}. Assim:
$$
u(x,t)=\frac12\Bigl[(x+t)e{-(x+t)}+(x-t)e{-|x-t|}\Bigr].$$
Passo 5
Para organizar melhor, escrevemos o resultado em duas regiões: se t≤x então |x−t|=x−t e
$$
u(x,t)=\frac12\bigl[(x+t)e{-(x+t)}+(x-t)e{-(x-t)}\bigr],
u(x,t)=\frac12\bigl[(x+t)e{-(x+t)}-(t-x)e{-(t-x)}\bigr].$$
Passo 6
Essa solução satisfaz a equação da onda, as condições iniciais e u(0,t)=0 por construção ímpar.
Resposta
Para x≥0 e t≤x:
$$
u(x,t)=\frac12\bigl[(x+t)e{-(x+t)}+(x-t)e{-(x-t)}\bigr],
u(x,t)=\frac12\bigl[(x+t)e{-(x+t)}-(t-x)e{-(t-x)}\bigr].$$