O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação s=12 t^2-6 t+23, onde t é medido em segundos.
(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo:
(i) [4,8]
(ii) [6,8]
(iii) [8,10]
(iv) [8,12]
(b) Encontre a velocidade instantânea quando t=8.
© Faça o gráfico de s como uma função de t e desenhe as retas secantes cujas inclinações são as velocidades médias da parte (a). A seguir, trace a reta tangente cuja inclinação é a velocidade instantânea da parte (b).

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem o deslocamento de uma partícula dado por s(t)= 12t^2-6t+23. O conteúdo aqui é cinemática unidimensional: vamos calcular velocidades médias em vários intervalos, depois a velocidade instantânea usando derivada, e por fim desenhar o gráfico de s(t) junto com as retas secantes (com inclinações iguais às velocidades médias) e a reta tangente (com inclinação igual à velocidade instantânea).

Passo 2

A velocidade média entre dois instantes a e b é vm=(s(b)-s(a))/(b-a). Primeiro calculamos s(4) e s(8):
s(4)=tfrac12cdot4^2-6cdot4+23=8-24+23=7
s(8)=tfrac12cdot8^2-6cdot8+23=32-48+23=7
Logo
vm,[4,8]=7-78-4=0 m/s

Passo 3

Para o intervalo [6,8], calculamos s(6):
s(6)=tfrac12cdot6^2-6cdot6+23=18-36+23=5
Então
vm,[6,8]=7-58-6=1 m/s

Passo 4

No intervalo [8,10], temos s(10):
s(10)=tfrac12cdot10^2-6cdot10+23=50-60+23=13
Logo
vm,[8,10]=13-710-8=3 m/s

Passo 5

Para [8,12], primeiro s(12):
s(12)=tfrac12cdot12^2-6cdot12+23=72-72+23=23
Então
vm,[8,12]=23-712-8=4 m/s

Passo 6

A velocidade instantânea é a derivada de s(t):
v(t)=dsdt=t-6
Logo em t=8 temos
v(8)=8-6=2 m/s

Passo 7

As retas secantes têm equação y=s(a)+v_{m}(t-a). Elas ficam:
[4,8]: y=7+0,(t-4)=7
[6,8]: y=5+1,(t-6)=t-1
[8,10]: y=7+3,(t-8)=3t-17
[8,12]: y=7+4,(t-8)=4t-25

Passo 8

A reta tangente em t=8 sai de (8,s(8))=(8,7) com inclinação 2. Sua equação é:
y=7+2,(t-8)=2t-9

Passo 9

No gráfico, s(t) é uma parábola voltada para cima; as quatro secantes ligam os pontos correspondentes aos intervalos e têm inclinações 0, 1, 3 e 4; a reta tangente em t=8 passa pelo ponto (8,7) com inclinação 2.

Resposta

(a) Velocidades médias: [4,8]→0 m/s; [6,8]→1 m/s; [8,10]→3 m/s; [8,12]→4 m/s. (b) Velocidade instantânea em t=8: 2 m/s. © Equações das secantes: y=7, y=t−1, y=3t−17, y=4t−25; reta tangente: y=2t−9; e o gráfico é a parábola s(t)=½t²−6t+23 com essas linhas desenhadas.

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