O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação
, onde
é medido em segundos.
(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(b) Encontre a velocidade instantânea quando
.
© Faça o gráfico de
como uma função de
e desenhe as retas secantes cujas inclinações são as velocidades médias da parte (a). A seguir, trace a reta tangente cuja inclinação é a velocidade instantânea da parte (b).
(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(b) Encontre a velocidade instantânea quando
© Faça o gráfico de
Passo 1
Nesse exercício, a gente tem o deslocamento de uma partícula dado por s(t)=
. O conteúdo aqui é cinemática unidimensional: vamos calcular velocidades médias em vários intervalos, depois a velocidade instantânea usando derivada, e por fim desenhar o gráfico de s(t) junto com as retas secantes (com inclinações iguais às velocidades médias) e a reta tangente (com inclinação igual à velocidade instantânea).
Passo 2
A velocidade média entre dois instantes a e b é
. Primeiro calculamos s(4) e s(8):
Logo
Passo 3
Para o intervalo [6,8], calculamos s(6):
Então
Passo 4
No intervalo [8,10], temos s(10):
Logo
Passo 5
Para [8,12], primeiro s(12):
Então
Passo 6
A velocidade instantânea é a derivada de s(t):
Logo em t=8 temos
Passo 7
As retas secantes têm equação y=s(a)+v_{m}(t-a). Elas ficam:
Passo 8
A reta tangente em t=8 sai de (8,s(8))=(8,7) com inclinação 2. Sua equação é:
Passo 9
No gráfico, s(t) é uma parábola voltada para cima; as quatro secantes ligam os pontos correspondentes aos intervalos e têm inclinações 0, 1, 3 e 4; a reta tangente em t=8 passa pelo ponto (8,7) com inclinação 2.
Resposta
(a) Velocidades médias: [4,8]→0 m/s; [6,8]→1 m/s; [8,10]→3 m/s; [8,12]→4 m/s. (b) Velocidade instantânea em t=8: 2 m/s. © Equações das secantes: y=7, y=t−1, y=3t−17, y=4t−25; reta tangente: y=2t−9; e o gráfico é a parábola s(t)=½t²−6t+23 com essas linhas desenhadas.