Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
5. y=2 x^2-5 x+1, (3,4)
6. y=x^2-2 x^3, (1,-1)
7. y=x+2x-3,
(2,-4)
8. y=raiz1-3 x, (-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para achar a equação da reta tangente à curva dada por quatro funções em pontos específicos. O conteúdo envolvido é derivada de funções (regra do poder, regra do quociente e regra da cadeia) e a fórmula da reta tangente em um ponto (x0,y0):
y - y0 = f'(x0),(x - x0)

Passo 2

Para a função y = 2x^2 - 5x + 1:
Aplicamos a regra do poder ( (x^n)' = nx^n-1) termo a termo e obtemos:
f'(x) = 4x - 5
No ponto x0 = 3, o coeficiente angular é
m = f'(3) = 4cdot 3 - 5 = 7
Substituindo em y - 4 = 7(x - 3) e isolando y, vem:
y = 7x - 17

Passo 3

Para a função y = x^2 - 2x^3:
Derivando com a regra do poder:
f'(x) = 2x - 6x^2
No ponto x0 = 1, temos
m = f'(1) = 2cdot1 - 6cdot1 = -4
Logo a reta é y + 1 = -4(x - 1), que simplifica para
y = -4x + 3

Passo 4

Para a função y = x+2x-3:
Usamos a regra do quociente ( (u/v)' = (u'v - uv')/v^2), com u=x+2 e v=x-3:
f'(x) = 1,(x-3) - (x+2),1(x-3)^2 = x-3 - x - 2(x-3)^2 = -5(x-3)^2
No ponto x0=2, m = -5/(2-3)^2 = -5. Substituindo em y + 4 = -5(x - 2) resulta
y = -5x + 6

Passo 5

Para a função y = raiz1 - 3x:
Escrevemos y = (1 - 3x)^1/2 e aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = tfrac12(1 - 3x)^-1/2 cdot (-3) = -32raiz1 - 3x
No ponto x0 = -1, temos raiz1 - 3(-1) = 2 e
m = -32cdot 2 = -34
Logo a reta é y - 2 = -tfrac34(x + 1), que simplifica para
y = -tfrac34x + tfrac54

Resposta

As retas tangentes são:
y = 7x - 17,
y = -4x + 3,
y = -5x + 6 e
y = -tfrac34x + tfrac54.

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