A relação entre a saída y(t) e a entrada x(t) de um SLIT é dada pela seguinte equação:
y(t)=5 integral-infty^t x(tau) d tau+integral-infty^t y(tau) d tau
O sistema é estável? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação integral entre entrada e saída:
y(t)=5 ∫_{-∞}^t x(τ)dτ + ∫_{-∞}^t y(τ)dτ
O conteúdo é estabilidade BIBO de sistemas LTI, e vamos precisar obter a equação diferencial equivalente, a função de transferência e a resposta ao impulso para testar BIBO.

Passo 2

Para converter em equação diferencial, derivamos ambos os lados em relação a t. Como d/dt∫_{-∞}^t x(τ)dτ = x(t) e d/dt∫_{-∞}^t y(τ)dτ = y(t), obtemos:
y'(t) = 5,x(t) + y(t)

Passo 3

Agora aplicamos a Transformada de Laplace assumindo condições iniciais nulas (região de convergência adequada). Temos:
sY(s) = 5X(s) + Y(s)
Reagrupando, fica:
(s - 1)Y(s) = 5X(s)
Logo, a função de transferência é
H(s) = Y(s)X(s) = 5s - 1

Passo 4

Para verificar estabilidade BIBO, podemos olhar para os polos de H(s) ou diretamente para a resposta ao impulso. O polo único em s=1 está no semiplano direito, indicando instabilidade. Além disso, a resposta ao impulso é:
h(t) = 5e^tu(t)
E seu valor absoluto não é integrável em (0,∞):
integral0^infty |5e^t|,dt = 5integral0^infty e^tdt = ∞

Passo 5

Como a resposta ao impulso não é absolutamente integrável e há polo em s=1 (RHP), conclui-se que o sistema não é BIBO estável.

Resposta

Não, o sistema não é estável, pois apresenta um polo em s=1 (semiplano direito) e sua resposta ao impulso h(t)=5e^{t}u(t) não é absolutamente integrável, caracterizando instabilidade BIBO.

Exercícios relacionados