A relação entre a saída
e a entrada
de um SLIT é dada pela seguinte equação:
O sistema é estável? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a relação integral entre entrada e saída:
y(t)=5 ∫_{-∞}^t x(τ)dτ + ∫_{-∞}^t y(τ)dτ
O conteúdo é estabilidade BIBO de sistemas LTI, e vamos precisar obter a equação diferencial equivalente, a função de transferência e a resposta ao impulso para testar BIBO.
Passo 2
Para converter em equação diferencial, derivamos ambos os lados em relação a t. Como d/dt∫_{-∞}^t x(τ)dτ = x(t) e d/dt∫_{-∞}^t y(τ)dτ = y(t), obtemos:
Passo 3
Agora aplicamos a Transformada de Laplace assumindo condições iniciais nulas (região de convergência adequada). Temos:
Reagrupando, fica:
Logo, a função de transferência é
Passo 4
Para verificar estabilidade BIBO, podemos olhar para os polos de H(s) ou diretamente para a resposta ao impulso. O polo único em s=1 está no semiplano direito, indicando instabilidade. Além disso, a resposta ao impulso é:
E seu valor absoluto não é integrável em (0,∞):
Passo 5
Como a resposta ao impulso não é absolutamente integrável e há polo em s=1 (RHP), conclui-se que o sistema não é BIBO estável.
Resposta
Não, o sistema não é estável, pois apresenta um polo em s=1 (semiplano direito) e sua resposta ao impulso h(t)=5e^{t}u(t) não é absolutamente integrável, caracterizando instabilidade BIBO.