O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação do movimento f(t)=1t^2. onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade da partícula nos instantes t=a e t=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a velocidade de uma partícula em dois instantes específicos, t = a e t = 3. A equação do movimento da partícula é dada por f(t) = 1t^2, que representa o deslocamento em metros ao longo do tempo em segundos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar a função f(t) para encontrar a expressão da velocidade e depois calcular nos instantes desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea de uma partícula é a derivada da função de posição em relação ao tempo. Se f(t) é a posição, então a velocidade v(t) é:
v(t) = f'(t)
Então, nosso objetivo é derivar f(t) = 1t^2 em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar f(t) = 1t^2. Para isso, podemos reescrever a função usando expoentes negativos:
f(t) = t^-2
Agora, aplicamos a regra da potência para derivação, que diz que se f(t) = t^n, então f'(t) = n cdot t^n-1.
Aplicando essa regra:
v(t) = f'(t) = (-2) cdot t^-3 = -2t^3

Passo 4

Agora que temos a expressão da velocidade v(t) = -2t^3, vamos calcular essa velocidade nos instantes t = a e t = 3.
Para t = a:
v(a) = -2a^3
E para t = 3:
v(3) = -23^3 = -227

Resposta

A velocidade da partícula é v(a) = -2a^3 no instante t = a e v(3) = -227 no instante t = 3.

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