O deslocamento d1 está no plano y z, faz um ângulo de 63^circ com o semieixo y positivo, tem uma componente z positiva e um módulo de 45 m . O deslocamento d2 está no plano x z, faz um ângulo de 30^circ com o semi-eixo x positivo, tem uma componente z positiva e um módulo de 1,4 m. Determine (a) d1 cdot d2; (b) d1 times d2 e (c) o ângulo entre d1 e d2.

Passo 1

O enunciado dá dois deslocamentos em 3D e pede o produto escalar d1cdotd2, o produto vetorial d1timesd2 e o ângulo entre eles. Vamos usar decomposição de vetores em componentes cartesianas a partir dos ângulos dados e depois aplicar as definições de produto escalar, produto vetorial e fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Como d1 está no plano yz, faz 63^circ com o eixo y e tem módulo 45,m, suas componentes são
d1 = 0 45cos63^circ 45sin63^circ
Como d2 está no plano xz, faz 30^circ com o eixo x e tem módulo 1,4,m, suas componentes são
d2 = 1,4cos30^circ 0 1,4sin30^circ

Passo 3

O produto escalar é
d1cdotd2 =0cdot(1,4cos30^circ) + (45cos63^circ)cdot0 + (45sin63^circ)cdot(1,4sin30^circ) =45sin63^circcdot1,4sin30^circ
Como sin30^circ=0,5, isso vale
45cdot1,4cdot0,5;sin63^circ =31,5,sin63^circ approx31,5times0,8910 approx28,1(m^2)

Passo 4

O produto vetorial, usando a fórmula do determinante, dá
d1timesd2 = 45cos63^circcdot1,4sin30^circ 45sin63^circcdot1,4cos30^circ -,45cos63^circcdot1,4cos30^circ
Numericamente:
45cdot0,4540cdot0,7 45cdot0,8910cdot1,2124 -,45cdot0,4540cdot1,2124 approx 14,3 48,6 -24,8 (m^2)

Passo 5

O ângulo theta entre os vetores satisfaz
costheta =d1cdotd2|d1|;|d2| =28,145cdot1,4 approx0,4455,
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theta=cos^-1(0,4455)approx63,5^circ

Resposta

(a) d1cdotd2approx28,1 m^2
(b) d1timesd2approx(14,3,;48,6,;-24,8) m^2
(c) thetaapprox63,5^circ

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