Um deslocamento possui módulo s1=30 cm. Outro deslocamento possui módulo s2=40 cm. (a) Determine o módulo s do deslocamento resultante supondo que os dois deslocamentos sejam perpendiculares entre si. (b) Se o módulo de s for igual a 70 cm , qual será a orientação relativa dos deslocamentos? © E se o módulo do deslocamento resultante for igual a 10 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre deslocamentos! A gente tem dois deslocamentos, um com módulo de 30 cm ( s1=30 , cm) e outro com 40 cm ( s2=40 , cm). A matéria aqui envolve vetores e como somá-los, especialmente quando eles estão em direções diferentes. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e a regra do paralelogramo para vetores. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a)

Queremos encontrar o módulo do deslocamento resultante ( s) quando os dois deslocamentos são perpendiculares. Quando dois vetores são perpendiculares, a gente pode usar o Teorema de Pitágoras para calcular o módulo resultante. Isso porque eles formam um triângulo retângulo.
Então, a fórmula que vamos usar é:
s = raizs1^2 + s2^2
Vamos substituir os valores:
s = raiz30^2 + 40^2 = raiz900 + 1600 = raiz2500 = 50 , cm

Passo 3

Parte (b)

Agora, o módulo do deslocamento resultante é de 70 cm. Queremos descobrir qual é a orientação relativa dos dois deslocamentos. Aqui, vamos usar a Lei dos Cossenos, que é útil quando os vetores não são perpendiculares.
A fórmula da Lei dos Cossenos é:
s^2 = s1^2 + s2^2 - 2 cdot s1 cdot s2 cdot cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os dois deslocamentos. Vamos isolar cos(theta):
cos(theta) = s1^2 + s2^2 - s^22 cdot s1 cdot s2
Substituindo os valores:
cos(theta) = 30^2 + 40^2 - 70^22 cdot 30 cdot 40 = 900 + 1600 - 49002400 = -24002400 = -1
Sabemos que cos(180°) = -1, então theta = 180°. Isso significa que os dois deslocamentos estão em direções opostas.

Passo 4

Parte ©

Agora, o módulo do deslocamento resultante é de 10 cm. Vamos novamente usar a Lei dos Cossenos para encontrar o ângulo entre os deslocamentos.
Usamos a mesma fórmula:
cos(theta) = s1^2 + s2^2 - s^22 cdot s1 cdot s2
Substituindo os valores:
cos(theta) = 30^2 + 40^2 - 10^22 cdot 30 cdot 40 = 900 + 1600 - 1002400 = 24002400 = 1
Sabemos que cos(0°) = 1, então theta = 0°. Isso quer dizer que os dois deslocamentos estão na mesma direção.

Resposta

(a) O módulo do deslocamento resultante é 50 cm.
(b) Os deslocamentos estão em direções opostas.
© Os deslocamentos estão na mesma direção.

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