Desmonstrar que o triângulo ABC é isósceles, nos seguintes casos:
b) A=(2,-1,2), \quad B=(1,2,0), \quad C=(4,0,-1).

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(2,-1,2),\quad B=(1,2,0),\quad C=(4,0,-1)
e pede para mostrar que o triângulo ABC é isósceles. Para isso, vamos usar o fato de que um triângulo é isósceles se dois de seus lados têm o mesmo comprimento, e o comprimento de um lado em \mathbb{R}^3 é dado pela norma do vetor que une os seus extremos.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} e seu quadrado de norma.
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2,\;2-(-1),\;0-2)=(-1,\;3,\;-2),
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\|\overrightarrow{AB}\|^2 = (-1)^2 + 3^2 + (-2)^2 = 1 + 9 + 4 = 14.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AC} e seu quadrado de norma.
\overrightarrow{AC}=C-A=(4-2,\;0-(-1),\;-1-2)=(2,\;1,\;-3),
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\|\overrightarrow{AC}\|^2 = 2^2 + 1^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14.

Passo 4

Como
\|\overrightarrow{AB}\|^2 = 14 \quad\text{e}\quad \|\overrightarrow{AC}\|^2 = 14,
segue-se que
\|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{AC}\|.
Ou seja, os lados AB e AC têm o mesmo comprimento.

Resposta

O triângulo ABC é isósceles, pois \|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{AC}\|.

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