Resolver por escalonamento os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{r}5 x+3 z=6 \\\\ 2 x-3 y=-6 \\\\ 2 y+3 z=-1\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} 5x + 3z = 6,\\\\ 2x - 3y = -6,\\\\ 2y + 3z = -1. \end{cases}
Vamos usar o método de escalonamento (eliminação de Gauss) para obter um sistema triangular e depois resolver por retro-substituição.

Passo 2

Eliminamos x da segunda equação usando a primeira. Multiplicamos a primeira equação por \tfrac{2}{5} e subtraímos da segunda:
2x - 3y \;-\;\Bigl(2x + \tfrac{6}{5}z\Bigr) \;=\;-6 \;-\;\tfrac{12}{5}
que simplifica para
5y + 2z = 14.

Passo 3

Agora o sistema está em forma quase triangular:
\begin{cases} 5x + 3z = 6,\\\\ 5y + 2z = 14,\\\\ 2y + 3z = -1. \end{cases}
Eliminamos y da terceira equação usando a segunda. Multiplicamos a terceira por 5 e subtraímos 2 vezes a segunda:
10y + 15z \;-\;(10y + 4z) \;=\;-5 \;-\;28
resultando em
11z = -33.

Passo 4

Resolvendo 11z = -33 obtemos
z = -3.
Retro-substituindo em 5y + 2z = 14, vem
5y + 2(-3) = 14 \quad\Longrightarrow\quad 5y = 20 \quad\Longrightarrow\quad y = 4.

Passo 5

Finalmente, substituímos y=4 e z=-3 em 5x + 3z = 6:
5x + 3(-3) = 6 \quad\Longrightarrow\quad 5x = 15 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Resposta

x = 3,\;y = 4,\;z = -3.

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