1. Despeja-se água em um recipiente que possui um vazamento. A massa m de água no recipiente em função do tempo t é dada por m=a t^{2}-b t+c para t \geq 0, onde a=8,1 \mathrm{~g} / \mathrm{s}^{2}, b=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{s} e c=3,7 \mathrm{~g}. Qual o máximo valor de água em gramas atingido no reservatório?
    (a) 9,7
    (b) 11,4
    (c) 0,6
    (d) 15,4
    (e) 3,7

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o máximo valor de água em gramas atingido no reservatório?”\n
Informações dadas:
m(t)=a\,t^{2}-b\,t+c\quad\text{para }t\ge 0,
com a=8,1\\ \mathrm{g/s^{2}}, b=1,0\\ \mathrm{g/s} e c=3,7\\ \mathrm{g}.\n
Queremos o valor máximo (em gramas) que a função m(t) atinge no domínio t\ge 0.

Passo 2

Método para encontrar extremos de uma função suave: calcular a derivada, igualá-la a zero para achar pontos críticos, e usar a segunda derivada ou o comportamento da função para classificar cada ponto (máximo, mínimo ou ponto de inflexão).\n
Aplicando isso aqui, escrevemos a derivada de m(t):
m'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{2}-b\,t+c\bigr)=2a\,t-b.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo m'(t)=0:
2a\,t-b=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{b}{2a}.
Substituindo a=8,1 e b=1,0:
t=\frac{1,0}{2\cdot 8,1}=\frac{1,0}{16,2}\approx 0,061728\\ \text{s}.

Passo 4

Agora calculamos o valor de m nesse ponto crítico. Podemos usar a fórmula do valor do vértice da parábola. Para m(t)=a t^{2}-b t+c o valor no vértice é
m\!\left(\frac{b}{2a}\right)=c-\frac{b^{2}}{4a}.
Derivação rápida: substituir t=\dfrac{b}{2a} em m(t) e simplificar leva a essa expressão.\n
Calculemos numericamente:
\frac{b^{2}}{4a}=\frac{(1,0)^{2}}{4\cdot 8,1}=\frac{1,0}{32,4}\approx 0,030864,
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m\!\left(\frac{b}{2a}\right)=3,7-0,030864\approx 3,669136\\ \text{g}\approx 3,67\\ \text{g}.

Passo 5

Classificação do ponto crítico: a segunda derivada é
m''(t)=\frac{d}{dt}(2a\,t-b)=2a.
Como a=8,1>0, temos m''(t)=2a=16,2>0. Isso significa que a parábola é côncava para cima e o ponto crítico encontrado é um mínimo (não um máximo).\n
Consequência: como a>0, para t\to\infty temos m(t)\to+\infty. Portanto, não existe um máximo finito global em t\ge 0 — a função cresce sem limite quando t aumenta suficientemente.\n
Entretanto, entre as alternativas oferecidas a única que faz sentido como valor característico relacionado aos dados (e a mais próxima do valor do vértice calculado) é 3,7 (o valor inicial m(0)=c), que corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) 3,7

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