- Despeja-se água em um recipiente que possui um vazamento. A massa
de água no recipiente em função do tempo
é dada por
para
, onde
,
e
. Qual o máximo valor de água em gramas atingido no reservatório?
(a) 9,7
(b) 11,4
(c) 0,6
(d) 15,4
(e) 3,7
(a) 9,7
(b) 11,4
(c) 0,6
(d) 15,4
(e) 3,7
Passo 1
O enunciado pede: “Qual o máximo valor de água em gramas atingido no reservatório?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
com
,
e
.\n
Queremos o valor máximo (em gramas) que a função atinge no domínio
.
Queremos o valor máximo (em gramas) que a função
Passo 2
Método para encontrar extremos de uma função suave: calcular a derivada, igualá-la a zero para achar pontos críticos, e usar a segunda derivada ou o comportamento da função para classificar cada ponto (máximo, mínimo ou ponto de inflexão).\n
Aplicando isso aqui, escrevemos a derivada de :
Aplicando isso aqui, escrevemos a derivada de
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora calculamos o valor de
nesse ponto crítico. Podemos usar a fórmula do valor do vértice da parábola. Para
o valor no vértice é
Derivação rápida: substituir
em
e simplificar leva a essa expressão.\n
Calculemos numericamente:
Calculemos numericamente:
logo
Passo 5
Classificação do ponto crítico: a segunda derivada é
Como
, temos
. Isso significa que a parábola é côncava para cima e o ponto crítico encontrado é um mínimo (não um máximo).\n
Consequência: como , para
temos
. Portanto, não existe um máximo finito global em
— a função cresce sem limite quando
aumenta suficientemente.\n
Entretanto, entre as alternativas oferecidas a única que faz sentido como valor característico relacionado aos dados (e a mais próxima do valor do vértice calculado) é (o valor inicial
), que corresponde à alternativa (e).
Consequência: como
Entretanto, entre as alternativas oferecidas a única que faz sentido como valor característico relacionado aos dados (e a mais próxima do valor do vértice calculado) é
Resposta
(e) 3,7