Despreze as perdas menores nos seguintes exercícios (Quando se fala em rendimento é
\eta=\frac{P_{u}}{P_{m}}, ou seja quer saber a potência do motor P_{m}=\frac{P_{u}}{\eta}).
A velocidade média de escoamento em um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca é 2,5 \mathrm{~m} / \\\mathrm{s}. Na entrada, a pressão é 8,25 \mathrm{MPa} (manométrica) e a elevação é 45 m ; na saída, a pressão é 350 kPa (manométrica) e a elevação é 115 m . Calcule a perda de carga nesse trecho da tubulação.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Velocidade média no trecho: 2,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Pressão na entrada (manométrica): p_1=8,25\\ \mathrm{MPa}.
  • Elevação na entrada: z_1=45\\ \mathrm{m}.
  • Pressão na saída (manométrica): p_2=350\\ \mathrm{kPa}.
  • Elevação na saída: z_2=115\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede: calcular a perda de carga nesse trecho da tubulação (desprezando perdas menores).
Observação: ambos os valores de pressão são manométricos (referidos à mesma pressão de referência — atmosfera), então podemos usar diretamente a diferença entre eles.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
Usamos a equação de energia (forma de Bernoulli) entre dois pontos de um escoamento, incluindo a perda de carga h_f. Para um escoamento estacionário, incompressível e com uma única corrente, a equação em termos de alturas é
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2+h_f.
Aqui:
  • p é a pressão (Pa),
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • v é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
  • z é a elevação geométrica (m),
  • h_f é a perda de carga (m), que queremos.
Isolando h_f obtemos:
h_f=\frac{p_1-p_2}{\rho g}+\frac{v_1^2-v_2^2}{2g}+z_1-z_2.

Passo 3

Simplificação apropriada para este problema:
  • O trecho tem diâmetro constante, então v_1=v_2=v. Portanto o termo cinético \dfrac{v_1^2-v_2^2}{2g} é zero.
  • Assim a fórmula reduz para
h_f=\frac{p_1-p_2}{\rho g}+z_1-z_2.
Também preciso definir valores para \rho e g. Para água (assumção padrão quando não informado), uso:
  • \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},
  • g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
Vou converter as pressões para pascal:
  • p_1=8,25\\ \mathrm{MPa}=8{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
  • p_2=350\\ \mathrm{kPa}=350\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular o termo de carga de pressão \dfrac{p_1-p_2}{\rho g}:
Primeiro a diferença de pressões:
p_1-p_2=8{,}25\times10^{6}-350\times10^{3}=7{,}900\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
O denominador \rho g é
\rho g=1000\cdot9{,}81=9810\\ \mathrm{N/m^3}.
Portanto o termo de pressão em metros de coluna de água vale
\frac{p_1-p_2}{\rho g}=\frac{7{,}900\times10^{6}}{9810}\approx805{,}301\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o termo de elevação z_1-z_2:
z_1-z_2=45-115=-70\\ \mathrm{m}.
(Interpretação física rápida: a saída está 70\\ \mathrm{m} acima da entrada, logo isso reduz a disponibilidade de energia, aparecendo com sinal negativo.)

Passo 6

Reunião dos termos para a perda de carga (expressão numérica, sem simplificar aqui para deixar o resultado final só na seção de resposta):
h_f=\frac{p_1-p_2}{\rho g}+z_1-z_2 \approx 805{,}301 + (-70).

Resposta

735{,}301\\ \mathrm{m}

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